Найти производную x^3+1/x-1

Для нахождения производной функции ( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x - 1} ) применим метод дифференцирования частного. Формула для производной частного двух функций ( u(x) ) и ( v(x) ) такова:

[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

В данном случае: [ u(x) = x^3 + 1 ] [ v(x) = x - 1 ]

Найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 ] [ v'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 ]

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

[ \left(\frac{x^3 + 1}{x - 1}\right)' = \frac{(x^3 + 1)'(x - 1) - (x^3 + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} ]

Подставим производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):

[ \left(\frac{x^3 + 1}{x - 1}\right)' = \frac{3x^2 (x - 1) - (x^3 + 1) (1)}{(x - 1)^2} ]

Раскроем скобки в числителе:

[ = \frac{3x^2 (x - 1) - (x^3 + 1)}{(x - 1)^2} ] [ = \frac{3x^3 - 3x^2 - x^3 - 1}{(x - 1)^2} ] [ = \frac{2x^3 - 3x^2 - 1}{(x - 1)^2} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x - 1} ) равна:

[ f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 - 1}{(x - 1)^2} ]

Для нахождения производной функции x^3 + 1/x - 1 необходимо применить правила дифференцирования. Давайте найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная слагаемого x^3: Производная функции x^3 равна 3x^2.

2. Производная слагаемого 1/x: Производная функции 1/x можно найти с помощью правила дифференцирования обратной функции. Пусть u(x) = 1/x, тогда u'(x) = -1/x^2.

3. Производная константы -1: Производная константы равна нулю.

Теперь найдем производную всей функции: f'(x) = (3x^2) + (-1/x^2) + 0 f'(x) = 3x^2 - 1/x^2

Итак, производная функции x^3 + 1/x - 1 равна 3x^2 - 1/x^2.