Найти производную x^3+1/x-1

Для нахождения производной функции $f(x$ = \frac{x^3 + 1}{x - 1} ) применим метод дифференцирования частного. Формула для производной частного двух функций $u(x$ ) и $v(x$ ) такова:

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

В данном случае: $u(x)=x^3+1$ $v(x)=x-1$

Найдем производные $u^{\prime }(x$ ) и $v^{\prime }(x$ ):

$u^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3+1)=3x^2$ $v^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

${\left(\frac{x^3+1}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{(x^3+1{)}^{\prime }(x-1)-(x^3+1)(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}$

Подставим производные $u^{\prime }(x$ ) и $v^{\prime }(x$ ):

${\left(\frac{x^3+1}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{3x^2(x-1)-(x^3+1)(1)}{(x-1{)}^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$=\frac{3x^2(x-1)-(x^3+1)}{(x-1{)}^2}$ $=\frac{3x^3-3x^2-x^3-1}{(x-1{)}^2}$ $=\frac{2x^3-3x^2-1}{(x-1{)}^2}$

Таким образом, производная функции $f(x$ = \frac{x^3 + 1}{x - 1} ) равна:

$f^{\prime }(x)=\frac{2x^3-3x^2-1}{(x-1{)}^2}$

Для нахождения производной функции x^3 + 1/x - 1 необходимо применить правила дифференцирования. Давайте найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

1. Производная слагаемого x^3: Производная функции x^3 равна 3x^2.

2. Производная слагаемого 1/x: Производная функции 1/x можно найти с помощью правила дифференцирования обратной функции. Пусть u$x$ = 1/x, тогда u'$x$ = -1/x^2.

3. Производная константы -1: Производная константы равна нулю.

Теперь найдем производную всей функции: f'$x$ = $3x^2$ + $-1/x^2$ + 0 f'$x$ = 3x^2 - 1/x^2

Итак, производная функции x^3 + 1/x - 1 равна 3x^2 - 1/x^2.