Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 3 см меньше другой, а диагональ прямоугольника равна...

Пусть одна из сторон прямоугольника равна х см, тогда другая сторона будет (x + 3) см.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и сторонами прямоугольника, получаем:

x^2 + (x + 3)^2 = 15^2

Раскрываем скобки:

x^2 + x^2 + 6x + 9 = 225

Объединяем подобные члены:

2x^2 + 6x + 9 = 225

Приравниваем уравнение к нулю:

2x^2 + 6x - 216 = 0

Делим уравнение на 2:

x^2 + 3x - 108 = 0

Факторизуем уравнение:

(x + 12)(x - 9) = 0

Получаем два корня: x = -12 и x = 9. Поскольку сторона прямоугольника не может быть отрицательной, то x = 9 см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.

Для решения этой задачи обозначим стороны прямоугольника как ( x ) и ( y ), где ( y = x - 3 ) (поскольку одна из сторон на 3 см меньше другой). Диагональ прямоугольника, согласно теореме Пифагора, связана с его сторонами следующим образом:

[ d = \sqrt{x^2 + y^2} ]

Где ( d ) – длина диагонали, равная 15 см. Подставим значение диагонали в уравнение:

[ 15 = \sqrt{x^2 + y^2} ]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ 225 = x^2 + y^2 ]

Теперь подставим в это уравнение выражение для ( y ):

[ 225 = x^2 + (x - 3)^2 ]

Раскроем скобки:

[ 225 = x^2 + (x^2 - 6x + 9) ]

Сложим подобные члены:

[ 225 = 2x^2 - 6x + 9 ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ 2x^2 - 6x + 9 - 225 = 0 ]

Получаем квадратное уравнение:

[ 2x^2 - 6x - 216 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все его члены на 2:

[ x^2 - 3x - 108 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 ]

Дискриминант положительный, следовательно, у уравнения есть два действительных корня. Найдем их:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} ]

[ x_{1,2} = \frac{3 \pm 21}{2} ]

Получаем два значения для ( x ):

[ x_1 = \frac{3 + 21}{2} = 12 ]

[ x_2 = \frac{3 - 21}{2} = -9 ]

Отрицательное значение для длины стороны невозможно, поэтому ( x = 12 ).

Теперь найдем ( y ):

[ y = x - 3 = 12 - 3 = 9 ]

Итак, стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см.

Обозначим одну сторону прямоугольника как х, тогда другая сторона будет х-3. По теореме Пифагора диагональ равна корню из суммы квадратов сторон прямоугольника: 15^2 = x^2 + (x-3)^2 225 = x^2 + x^2 - 6x + 9 2x^2 - 6x - 216 = 0 x^2 - 3x - 108 = 0 (x - 12)(x + 9) = 0 x = 12 или x = -9 Так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, то x = 12 см. Значит, стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см.