Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии 5,-2,5

Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии необходимо воспользоваться формулой суммы конечной геометрической прогрессии. Формула выглядит следующим образом:

[ S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} ]

где:

• ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов прогрессии,
• ( a_1 ) — первый член прогрессии,
• ( r ) — знаменатель прогрессии,
• ( n ) — количество членов.

Дана геометрическая прогрессия: 5, -2, .

Первый член, ( a_1 = 5 ).

Чтобы найти знаменатель прогрессии ( r ), необходимо разделить второй член на первый:

[ r = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5} ]

Теперь, используя формулу для суммы, найдём сумму первых шести членов (( n = 6 )):

[ S_6 = 5 \frac{\left(-\frac{2}{5}\right)^6 - 1}{-\frac{2}{5} - 1} ]

Сначала вычислим (\left(-\frac{2}{5}\right)^6):

[ \left(-\frac{2}{5}\right)^6 = \left(\frac{2}{5}\right)^6 = \frac{64}{15625} ]

Теперь подставим в формулу:

[ S_6 = 5 \frac{\frac{64}{15625} - 1}{-\frac{2}{5} - 1} ]

Упрощаем выражения:

1. (\frac{64}{15625} - 1 = \frac{64}{15625} - \frac{15625}{15625} = \frac{64 - 15625}{15625} = \frac{-15661}{15625})

2. (-\frac{2}{5} - 1 = -\frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{7}{5})

Теперь подставим обратно в формулу для суммы:

[ S_6 = 5 \times \frac{\frac{-15661}{15625}}{-\frac{7}{5}} ]

Умножим дроби:

[ S_6 = 5 \times \frac{-15661}{15625} \times \frac{5}{7} = 5 \times \frac{-15661 \times 5}{15625 \times 7} ]

[ S_6 = \frac{-15661 \times 5}{3125 \times 7} = \frac{-78205}{21875} ]

Теперь найдём упрощенное значение:

[ S_6 \approx -3.57 ]

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна приблизительно (-3.57).

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии необходимо воспользоваться формулой:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии (отношение любого члена прогрессии к предыдущему), n - номер последнего члена прогрессии, сумму членов до которого нужно найти.

В данном случае у нас геометрическая прогрессия с первым членом a = 5 и знаменателем r = -2. Также нам нужно найти сумму первых шести членов, то есть n = 6.

Подставляем данные в формулу:

S_6 = 5 * (1 - (-2)^6) / (1 - (-2)),

S_6 = 5 * (1 - 64) / (1 + 2),

S_6 = 5 * (-63) / 3,

S_6 = -315.

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна -315.

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии 5, -2,5 равна 62,5.