Найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии (Xn), если X3 =-4; X5=2

Для нахождения суммы восьми первых членов арифметической прогрессии, нам необходимо найти первый член (X1) и шаг прогрессии (d) на основе предоставленных данных X3 = -4 и X5 = 2.

Используем формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии: Xn = X1 + (n-1)d

Подставим значения для X3 и X5: X3 = X1 + 2d = -4 X5 = X1 + 4d = 2

Теперь решим эту систему уравнений для нахождения X1 и d. После нахождения X1 и d, мы сможем найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии с помощью формулы для суммы членов арифметической прогрессии: S8 = 8/2 (2X1 + 7d)

Чтобы найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, сначала нужно определить её первый член и разность.

Арифметическая прогрессия определятся формулой: [ X_n = a + (n-1)d ] где ( a ) — первый член прогрессии, ( d ) — разность прогрессии, и ( n ) — номер члена.

Имеем два уравнения для третьего и пятого членов:

1. ( X_3 = a + 2d = -4 )
2. ( X_5 = a + 4d = 2 )

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность ( d ): [ (a + 4d) - (a + 2d) = 2 - (-4) ] [ 2d = 6 \Rightarrow d = 3 ]

Теперь подставим значение ( d ) в первое уравнение, чтобы найти ( a ): [ a + 2 \times 3 = -4 ] [ a + 6 = -4 \Rightarrow a = -10 ]

Теперь, когда у нас есть первый член ( a = -10 ) и разность ( d = 3 ), можем найти сумму восьми первых членов прогрессии. Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d) ] где ( n = 8 ).

Подставляем известные значения: [ S_8 = \frac{8}{2} \times (2 \times (-10) + (8-1) \times 3) ] [ S_8 = 4 \times (-20 + 21) ] [ S_8 = 4 \times 1 = 4 ]

Итак, сумма восьми первых членов арифметической прогрессии равна 4.