Найти tg a если cos a=4\5

Для нахождения tg a, когда известно, что cos a = 4/5, можно воспользоваться тригонометрической формулой:

tg a = sin a / cos a

Известно, что cos a = 4/5. Также из тригонометрической формулы sin^2 a + cos^2 a = 1 следует, что sin^2 a = 1 - cos^2 a. Подставим значение cos a = 4/5:

sin^2 a = 1 - (4/5)^2 sin^2 a = 1 - 16/25 sin^2 a = 9/25 sin a = ±3/5

Так как tg a = sin a / cos a, то tg a = (±3/5) / (4/5) = ±3/4

Итак, tg a может быть равно 3/4 или -3/4.

Чтобы найти значение (\tan(a)), если (\cos(a) = \frac{4}{5}), мы можем использовать некоторые тригонометрические идентичности и соотношения.

1. Использование основного тригонометрического тождества:

   Сначала вспомним основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 ] Подставим значение (\cos(a)): [ \sin^2(a) + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 ] Упростим это выражение: [ \sin^2(a) + \frac{16}{25} = 1 ] Избавимся от дробей, умножив все уравнение на 25: [ 25 \sin^2(a) + 16 = 25 ] Перенесем 16 в правую часть уравнения: [ 25 \sin^2(a) = 9 ] Разделим обе части уравнения на 25: [ \sin^2(a) = \frac{9}{25} ] Найдем (\sin(a)), взяв квадратный корень из обеих частей уравнения: [ \sin(a) = \pm \frac{3}{5} ]

   Знак (\pm) зависит от того, в какой четверти находится угол (a). Поскольку это не указано в условии, мы учтем оба варианта.

2. Нахождение (\tan(a)):

   Теперь, когда у нас есть значения (\sin(a)) и (\cos(a)), мы можем найти (\tan(a)) с помощью определения тангенса: [ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} ]

   Подставим значения: [ \tan(a) = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} ] или [ \tan(a) = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} ]

Таким образом, мы получили два возможных значения для (\tan(a)): [ \tan(a) = \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad \tan(a) = -\frac{3}{4} ]

Какое из этих значений верно, зависит от того, в какой четверти находится угол (a):

• Если (\sin(a) > 0) и (\cos(a) > 0), то (a) находится в первой четверти, и (\tan(a) = \frac{3}{4}).
• Если (\sin(a) < 0) и (\cos(a) > 0), то (a) находится в четвертой четверти, и (\tan(a) = -\frac{3}{4}).

Если бы у нас была дополнительная информация о знаке (\sin(a)), мы могли бы точно определить, какое значение (\tan(a)) является верным.

tg a = √(1 - cos^2 a) / cos a = √(1 - (4/5)^2) / 4/5 = √(1 - 16/25) / 4/5 = √(9/25) / 4/5 = 3/5 / 4/5 = 3/4.