Найти точки экстремума и определите их характер: y=x^3+3x^2-9x-2

Для нахождения точек экстремума функции y=x^3+3x^2-9x-2 необходимо найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, в которых функция имеет экстремумы.

y' = 3x^2 + 6x - 9

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два корня:

x1 = -3 x2 = 1

Теперь необходимо определить характер точек экстремума. Для этого рассмотрим знаки производной в окрестностях найденных точек:

1. При x < -3: y' < 0, следовательно, функция убывает.
2. При -3 < x < 1: y' > 0, значит, функция возрастает.
3. При x > 1: y' > 0, что говорит о возрастании функции.

Итак, точка x1 = -3 является точкой локального максимума, а точка x2 = 1 - точкой локального минимума.

Для нахождения точек экстремума функции ( y = x^3 + 3x^2 - 9x - 2 ) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции ( y ).
2. Найти критические точки, решив уравнение первой производной, равной нулю.
3. Определить характер критических точек с помощью второй производной.

1. Найдем первую производную функции ( y ):

Первая производная функции ( y ) по ( x ) обозначается как ( y' ) или ( \frac{dy}{dx} ):

[ y = x^3 + 3x^2 - 9x - 2 ] [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x - 2) ]

Применим правило дифференцирования:

[ y' = 3x^2 + 6x - 9 ]

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ):

[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

[ ax^2 + bx + c = 0 ] [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В данном случае ( a = 3 ), ( b = 6 ), ( c = -9 ):

[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9)}}{2 \cdot 3} ] [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6} ] [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{6} ] [ x = \frac{-6 \pm 12}{6} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{6}{6} = 1 ] [ x_2 = \frac{-18}{6} = -3 ]

3. Определим характер критических точек:

Для определения характера критических точек найдем вторую производную функции ( y ):

[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x - 9) ] [ y'' = 6x + 6 ]

Теперь подставим найденные критические точки в ( y'' ):

Для ( x = 1 ):

[ y''(1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 ]

Поскольку ( y''(1) > 0 ), это означает, что в точке ( x = 1 ) функция имеет локальный минимум.

Для ( x = -3 ):

[ y''(-3) = 6 \cdot (-3) + 6 = -18 + 6 = -12 ]

Поскольку ( y''(-3) < 0 ), это означает, что в точке ( x = -3 ) функция имеет локальный максимум.

Ответ:

Точки экстремума функции ( y = x^3 + 3x^2 - 9x - 2 ) и их характер:

• ( x = 1 ) — локальный минимум.
• ( x = -3 ) — локальный максимум.