Найти точку перегиба к графику функции y=x^3-3x^2+1

Чтобы найти точку перегиба к графику функции y=x^3-3x^2+1, нужно найти вторую производную функции и приравнять ее к нулю. Точка перегиба - это точка, где меняется выпуклость функции.

Для этой функции первая производная будет равна y'=3x^2-6x. Далее найдем вторую производную, взяв производную от первой производной: y''=6x-6.

Теперь приравняем вторую производную к нулю: 6x-6=0. Решая это уравнение, получим x=1.

Таким образом, точка перегиба графика функции y=x^3-3x^2+1 будет равна x=1. Для того чтобы найти соответствующее значение y, подставим x=1 в исходную функцию: y=1^3-3*1^2+1=1-3+1=-1.

Итак, точка перегиба графика функции y=x^3-3x^2+1 будет равна (1, -1).

Для нахождения точки перегиба графика функции ( y = x^3 - 3x^2 + 1 ) необходимо выполнить несколько шагов, связанных с производными функции.

Шаг 1: Найдите первую производную функции.

Первая производная функции ( y ) по ( x ) определяет угловой коэффициент касательной к графику функции. Для данной функции:

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x ]

Шаг 2: Найдите вторую производную функции.

Вторая производная позволяет определить, где график функции имеет точки перегиба. Это точки, в которых меняется выпуклость графика:

[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 ]

Шаг 3: Найдите точки, где вторая производная равна нулю.

Для нахождения точки перегиба решаем уравнение:

[ 6x - 6 = 0 ]

Решая это уравнение, находим:

[ 6x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ]

Шаг 4: Проверьте изменение знака второй производной.

Чтобы подтвердить, что ( x = 1 ) является точкой перегиба, необходимо проверить, меняется ли знак второй производной в этой точке. Рассмотрим значения второй производной на интервалах, прилегающих к ( x = 1 ):

• Для ( x < 1 ), например, при ( x = 0 ): [ y''(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6 ] Здесь вторая производная отрицательна.

• Для ( x > 1 ), например, при ( x = 2 ): [ y''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 6 ] Здесь вторая производная положительна.

Поскольку вторая производная меняет знак с отрицательного на положительный при ( x = 1 ), это подтверждает, что в этой точке действительно происходит смена выпуклости графика, и ( x = 1 ) является точкой перегиба.

Шаг 5: Найдите значение функции в точке перегиба.

Подставляем ( x = 1 ) в исходную функцию, чтобы найти координату точки перегиба по оси ( y ):

[ y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 ]

Таким образом, точка перегиба графика функции ( y = x^3 - 3x^2 + 1 ) находится в точке ( (1, -1) ).