Найти все принадлежащие отрезку (0; 3пи) корни уравнения: 1)cos x=1/2 2)cos x =-1/2 3)cos x=- √2/ 2...

Для того чтобы найти все корни уравнений на отрезке (0; 3π), используем основные свойства тригонометрической функции косинуса и ее периодичность.

1. cos x = 1/2

   Косинус равен 1/2 в точках ( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число. Выберем те значения ( x ), которые попадают в интервал (0; 3π).

   [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

   Проверим оба случая:

   • Для ( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ k = 0: \quad x = \frac{\pi}{3} \ k = 1: \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + 6\frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} ]

   • Для ( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ k = 1: \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 6\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} ]

   Таким образом, корни на отрезке (0; 3π) будут: [ x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} ]

2. cos x = -1/2

   Косинус равен -1/2 в точках ( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число. Выберем те значения ( x ), которые попадают в интервал (0; 3π).

   [ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi ]

   Проверим оба случая:

   • Для ( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ): [ k = 0: \quad x = \frac{2\pi}{3} \ k = 1: \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + 6\frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} ]

   • Для ( x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi ): [ k = 1: \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + 6\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} ]

   Таким образом, корни на отрезке (0; 3π) будут: [ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} ]

3. cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

   Косинус равен (-\frac{\sqrt{2}}{2}) в точках ( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число. Выберем те значения ( x ), которые попадают в интервал (0; 3π).

   [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

   Проверим оба случая:

   • Для ( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ): [ k = 0: \quad x = \frac{3\pi}{4} \ k = 1: \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4} + 8\frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} ]

   • Для ( x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi ): [ k = 1: \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + 8\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} ]

   Таким образом, корни на отрезке (0; 3π) будут: [ x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} ]

4. cos x = (\frac{\sqrt{2}}{2})

   Косинус равен (\frac{\sqrt{2}}{2}) в точках ( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi ), где ( k ) — целое число. Выберем те значения ( x ), которые попадают в интервал (0; 3π).

   [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

   Проверим оба случая:

   • Для ( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ): [ k = 0: \quad x = \frac{\pi}{4} \ k = 1: \quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + 8\frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} ]

   • Для ( x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi ): [ k = 1: \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 8\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} ]

   Таким образом, корни на отрезке (0; 3π) будут: [ x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} ]

Итак, все найденные корни для каждого уравнения на интервале (0; 3π):

1. ( cos x = 1/2 ): [ x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} ]

2. ( cos x = -1/2 ): [ x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} ]

3. ( cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ): [ x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} ]

4. ( cos x = (\frac{\sqrt{2}}{2}) ): [ x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} ]

1) Корни уравнения cos x = 1/2 принадлежат отрезку (0; 3π) и соответствуют углам, косинус которых равен 1/2. Такие углы находятся в первой и четвертой четвертях. Решая уравнение cos x = 1/2, получаем x = π/3 + 2πk, где k - целое число. 2) Корни уравнения cos x = -1/2 также принадлежат отрезку (0; 3π) и соответствуют углам, косинус которых равен -1/2. Такие углы находятся во второй и третьей четвертях. Решая уравнение cos x = -1/2, получаем x = 2π/3 + 2πk, где k - целое число. 3) Корни уравнения cos x = -√2/2 принадлежат отрезку (0; 3π) и соответствуют углам, косинус которых равен -√2/2. Такие углы находятся во второй и третьей четвертях. Решая уравнение cos x = -√2/2, получаем x = 3π/4 + 2πk, где k - целое число. 4) Корни уравнения cos x = √2/2 также принадлежат отрезку (0; 3π) и соответствуют углам, косинус которых равен √2/2. Такие углы находятся в первой и четвертой четвертях. Решая уравнение cos x = √2/2, получаем x = π/4 + 2πk, где k - целое число.