Найти значение производной функции f(x) в точке Xo:
f(x)= cos(3x-π/2), Xo=π/3
Найти значение производной функции f(x) в точке Xo:
f(x)= cos(3x-π/2), Xo=π/3
f'(x) = -3sin(3x-π/2) f'(π/3) = -3sin(π/2) = -3
Чтобы найти значение производной функции ( f(x) = \cos(3x - \pi/2) ) в точке ( X_0 = \pi/3 ), сначала нужно определить общую формулу производной этой функции.
Функция ( f(x) = \cos(3x - \pi/2) ) является сложной функцией. Для её дифференцирования используем правило дифференцирования сложной функции, известное как правило цепочки. Если у нас есть функция вида ( \cos(u) ), где ( u = 3x - \pi/2 ), то производная будет:
[ f'(x) = -\sin(u) \cdot u' ]
Теперь найдем ( u' ):
[ u = 3x - \pi/2 \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{d}{dx}(3x - \pi/2) = 3 ]
Следовательно, производная функции ( f(x) ) будет:
[ f'(x) = -\sin(3x - \pi/2) \cdot 3 = -3\sin(3x - \pi/2) ]
Теперь подставим ( X_0 = \pi/3 ) в производную, чтобы найти её значение в этой точке:
[ f'(\pi/3) = -3\sin(3(\pi/3) - \pi/2) ]
Упростим выражение внутри синуса:
[ 3(\pi/3) = \pi \quad \Rightarrow \quad 3(\pi/3) - \pi/2 = \pi - \pi/2 = \pi/2 ]
Теперь подставим это значение в формулу производной:
[ f'(\pi/3) = -3\sin(\pi/2) ]
Мы знаем, что (\sin(\pi/2) = 1). Поэтому:
[ f'(\pi/3) = -3 \cdot 1 = -3 ]
Таким образом, значение производной функции ( f(x) = \cos(3x - \pi/2) ) в точке ( X_0 = \pi/3 ) равно (-3).
Для нахождения значения производной функции f(x) в точке Xo необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.
Пусть у нас есть функция f(x) = cos(3x - π/2). Чтобы найти производную этой функции, сначала найдем производную косинуса по формуле (d/dx)cos(u) = -sin(u) * du/dx, где u = 3x - π/2.
Таким образом, производная функции f(x) будет равна: f'(x) = -sin(3x - π/2) (d/dx)(3x - π/2) f'(x) = -sin(3x - π/2) 3
Теперь подставим значение Xo = π/3 в выражение для производной: f'(π/3) = -sin(3 π/3 - π/2) 3 f'(π/3) = -sin(π - π/2) 3 f'(π/3) = -sin(π/2) 3 f'(π/3) = -1 * 3 f'(π/3) = -3
Таким образом, значение производной функции f(x) в точке Xo = π/3 равно -3.
