Напишите, пожалуйста, полное решение уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 и найдите все корни...

Для начала преобразуем уравнение:

4 16^(sin^2x) - 6 4^(cos2x) = 29

4 (2^4)^(sin^2x) - 6 (2^2)^(cos2x) = 29

4 2^(4sin^2x) - 6 2^(2cos2x) = 29

Теперь воспользуемся следующими тождествами:

2sin^2x = 1 - cos2x 2cos2x = 1 + cos4x

Тогда уравнение примет вид:

4 2^(1 - cos2x) - 6 2^(1 + cos4x) = 29

4 2 2^(-cos2x) - 6 2 2^(cos4x) = 29

8 2^(-cos2x) - 12 2^(cos4x) = 29

Теперь введем замену:

2^(-cos2x) = m 2^(cos4x) = n

Тогда уравнение примет вид:

8m - 12n = 29

Теперь решим систему уравнений:

2^(-cos2x) = m 2^(cos4x) = n

на отрезке [3π/2; 3π]:

3π/2 ≤ x ≤ 3π

Подставим найденные значения m и n обратно:

2^(-cos2x) = m 2^(cos4x) = n

и найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Для начала давайте упростим данное уравнение:

[ 4 \cdot 16^{\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{\cos 2x} = 29. ]

Заметим, что (16 = 4^2). Тогда (16^{\sin^2 x} = (4^2)^{\sin^2 x} = 4^{2\sin^2 x}).

Также используем формулу для двойного угла: (\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x). Тогда (4^{\cos 2x} = 4^{1 - 2\sin^2 x}).

Подставляя это в уравнение, получаем: [ 4 \cdot 4^{2\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 29. ]

Преобразуем выражение: [ 4^{1 + 2\sin^2 x} - 6 \cdot 4^{1 - 2\sin^2 x} = 29. ]

Теперь введем замену (u = 2\sin^2 x), тогда: [ 4^{1 + u} - 6 \cdot 4^{1 - u} = 29. ]

Далее упростим: [ 4 \cdot 4^u - 6 / 4^u = 29 / 4. ]

Обозначим (4^u = t), получаем: [ 4t - \frac{6}{t} = \frac{29}{4}. ]

Умножим обе части уравнения на (t) для избавления от дроби: [ 4t^2 - \frac{29}{4} t - 6 = 0. ]

Умножим все члены на 4, чтобы избавиться от дробей: [ 16t^2 - 29t - 24 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение относительно (t): [ t = \frac{-(-29) \pm \sqrt{29^2 + 4 \cdot 16 \cdot 24}}{2 \cdot 16} = \frac{29 \pm \sqrt{841 + 1536}}{32} = \frac{29 \pm \sqrt{2377}}{32}. ]

Теперь найдем корни (t), подставим их обратно в (4^u = t) и решим для (u), а затем для (x).

Из (u = 2\sin^2 x) получаем (\sin^2 x = u/2). Возводим корни в степень и решаем (\sin x = \pm \sqrt{u/2}).

Затем найдем (x) на интервале ([3\pi/2; 3\pi]), решая уравнение (\sin x = \pm \sqrt{u/2}). Используем основные тригонометрические идентичности и учитываем, что синус положителен в четвертом квадранте и отрицателен в третьем.

После этого, найдем значения (x) в указанном диапазоне, используя стандартные методы решения тригонометрических уравнений (например, арксинусы и свойства симметрии). Каждое значение (x) будет соответствовать значению (u) и, следовательно, (t), что дает полное решение уравнения.