Напишите, пожалуйста, полное решение уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 и найдите все корни...

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
что \( 16 = 4^2 \) тогда \( 4^{1 + 2\sin^2 x} = 16u \). Таким образом углы \( x \) находятся в четвертом квадранте углы \( x \) находятся в третьем квадранте 3\pi ]\) где \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\) тригонометрия корни упрощение логарифмы степени.
0

Напишите, пожалуйста, полное решение уравнения 4 16^sin^2x - 6 4^cos2x = 29

и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 3п/2;3п

С пояснением, если можно)

avatar
задан 11 месяцев назад

2 Ответа

0

Для начала преобразуем уравнение:

4 16^sin2x - 6 4^cos2x = 29

4 24^sin2x - 6 22^cos2x = 29

4 2^4sin2x - 6 2^2cos2x = 29

Теперь воспользуемся следующими тождествами:

2sin^2x = 1 - cos2x 2cos2x = 1 + cos4x

Тогда уравнение примет вид:

4 2^1cos2x - 6 2^1+cos4x = 29

4 2 2^cos2x - 6 2 2^cos4x = 29

8 2^cos2x - 12 2^cos4x = 29

Теперь введем замену:

2^cos2x = m 2^cos4x = n

Тогда уравнение примет вид:

8m - 12n = 29

Теперь решим систему уравнений:

2^cos2x = m 2^cos4x = n

на отрезке 3π/2;3π:

3π/2 ≤ x ≤ 3π

Подставим найденные значения m и n обратно:

2^cos2x = m 2^cos4x = n

и найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку 3π/2;3π.

avatar
ответил 11 месяцев назад
0

Для начала давайте упростим данное уравнение:

416sin2x64cos2x=29.

Заметим, что 16=42. Тогда 16sin2x=(42^{\sin^2 x} = 4^{2\sin^2 x}).

Также используем формулу для двойного угла: cos2x=12sin2x. Тогда 4cos2x=412sin2x.

Подставляя это в уравнение, получаем: 442sin2x6412sin2x=29.

Преобразуем выражение: 41+2sin2x6412sin2x=29.

Теперь введем замену u=2sin2x, тогда: 41+u641u=29.

Далее упростим: 44u6/4u=29/4.

Обозначим 4u=t, получаем: 4t6t=294.

Умножим обе части уравнения на t для избавления от дроби: 4t2294t6=0.

Умножим все члены на 4, чтобы избавиться от дробей: 16t229t24=0.

Решим это квадратное уравнение относительно t: t=(29)±292+41624216=29±841+153632=29±237732.

Теперь найдем корни t, подставим их обратно в 4u=t и решим для u, а затем для x.

Из u=2sin2x получаем sin2x=u/2. Возводим корни в степень и решаем sinx=±u/2.

Затем найдем x на интервале [3π/2;3π], решая уравнение sinx=±u/2. Используем основные тригонометрические идентичности и учитываем, что синус положителен в четвертом квадранте и отрицателен в третьем.

После этого, найдем значения x в указанном диапазоне, используя стандартные методы решения тригонометрических уравнений например,арксинусыисвойствасимметрии. Каждое значение x будет соответствовать значению u и, следовательно, t, что дает полное решение уравнения.

avatar
ответил 11 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме

Решите пожалуйста: 8sin^4x+10sin^x-3=0
10 месяцев назад olivka2000
Cos^2x-4cosx+3=0 помогите пожалуйста решить
10 месяцев назад bobojonovanvar