Напишите, пожалуйста, полное решение уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 и найдите все корни...

Для начала преобразуем уравнение:

4 16^$si{n}^{2}x$ - 6 4^$cos2x$ = 29

4 $2^4$^$si{n}^{2}x$ - 6 $2^2$^$cos2x$ = 29

4 2^$4si{n}^{2}x$ - 6 2^$2cos2x$ = 29

Теперь воспользуемся следующими тождествами:

2sin^2x = 1 - cos2x 2cos2x = 1 + cos4x

Тогда уравнение примет вид:

4 2^$1-cos2x$ - 6 2^$1+cos4x$ = 29

4 2 2^$-cos2x$ - 6 2 2^$cos4x$ = 29

8 2^$-cos2x$ - 12 2^$cos4x$ = 29

Теперь введем замену:

2^$-cos2x$ = m 2^$cos4x$ = n

Тогда уравнение примет вид:

8m - 12n = 29

Теперь решим систему уравнений:

2^$-cos2x$ = m 2^$cos4x$ = n

на отрезке $3\pi /2;3\pi$:

3π/2 ≤ x ≤ 3π

Подставим найденные значения m и n обратно:

2^$-cos2x$ = m 2^$cos4x$ = n

и найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку $3\pi /2;3\pi$.

Для начала давайте упростим данное уравнение:

$4\cdot {16}^{{\sin }^{2}x}-6\cdot 4^{\cos 2x}=29.$

Заметим, что $16=4^2$. Тогда ${16}^{{\sin }^{2}x}=(4^2$^{\sin^2 x} = 4^{2\sin^2 x}).

Также используем формулу для двойного угла: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Тогда $4^{\cos 2x}=4^{1-2{\sin }^{2}x}$.

Подставляя это в уравнение, получаем: $4\cdot 4^{2{\sin }^{2}x}-6\cdot 4^{1-2{\sin }^{2}x}=29.$

Преобразуем выражение: $4^{1+2{\sin }^{2}x}-6\cdot 4^{1-2{\sin }^{2}x}=29.$

Теперь введем замену $u=2{\sin }^{2}x$, тогда: $4^{1+u}-6\cdot 4^{1-u}=29.$

Далее упростим: $4\cdot 4^u-6/4^u=29/4.$

Обозначим $4^u=t$, получаем: $4t-\frac{6}{t}=\frac{29}{4}.$

Умножим обе части уравнения на $t$ для избавления от дроби: $4t^2-\frac{29}{4}t-6=0.$

Умножим все члены на 4, чтобы избавиться от дробей: $16t^2-29t-24=0.$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$: $t=\frac{-(-29)\pm \sqrt{{29}^2+4\cdot 16\cdot 24}}{2\cdot 16}=\frac{29\pm \sqrt{841+1536}}{32}=\frac{29\pm \sqrt{2377}}{32}.$

Теперь найдем корни $t$, подставим их обратно в $4^u=t$ и решим для $u$, а затем для $x$.

Из $u=2{\sin }^{2}x$ получаем ${\sin }^{2}x=u/2$. Возводим корни в степень и решаем $\sin x=\pm \sqrt{u/2}$.

Затем найдем $x$ на интервале $[3\pi /2;3\pi ]$, решая уравнение $\sin x=\pm \sqrt{u/2}$. Используем основные тригонометрические идентичности и учитываем, что синус положителен в четвертом квадранте и отрицателен в третьем.

После этого, найдем значения $x$ в указанном диапазоне, используя стандартные методы решения тригонометрических уравнений $например,арксинусыисвойствасимметрии$. Каждое значение $x$ будет соответствовать значению $u$ и, следовательно, $t$, что дает полное решение уравнения.