Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2-2x+2 в точке с абсциссой х0=1.

Для того, чтобы написать уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ), нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдем значение функции в точке ( x_0 = 1 ): [ f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1 + 3 - 2 + 2 = 4. ] Таким образом, точка касания имеет координаты ( (1, 4) ).

2. Вычислим производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 2x + 2)' = 3x^2 + 6x - 2. ]

3. Найдем значение производной в точке ( x_0 = 1 ): [ f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 2 = 3 + 6 - 2 = 7. ] Значение производной в точке ( x_0 = 1 ) равно 7, что является угловым коэффициентом касательной в этой точке.

4. Составим уравнение касательной: Используем формулу точки касания: [ y - y_0 = m(x - x_0), ] где ( m ) — угловой коэффициент касательной, ( (x_0, y_0) ) — точка касания. Подставляем известные значения: [ y - 4 = 7(x - 1). ] Раскрываем скобки и приводим уравнение к стандартному виду: [ y = 7x - 7 + 4, ] [ y = 7x - 3. ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ) имеет вид: [ y = 7x - 3. ]

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х0=1, сначала необходимо найти производную данной функции.

f'(x) = 3x^2 + 6x - 2

Теперь найдем значение производной в точке х0=1:

f'(1) = 31^2 + 61 - 2 = 3 + 6 - 2 = 7

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х0=1 равен 7.

Теперь найдем значение функции в данной точке:

f(1) = 1^3 + 31^2 - 21 + 2 = 1 + 3 - 2 + 2 = 4

Теперь, используя формулу для уравнения прямой y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - свободный член, подставим найденные значения:

y = 7x + b

Также известно, что данная прямая проходит через точку (1, 4). Подставим координаты точки в уравнение прямой:

4 = 7*1 + b 4 = 7 + b b = 4 - 7 b = -3

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2-2x+2 в точке с абсциссой х0=1 будет:

y = 7x - 3