Напишите уравнение касательной к графику функции f$x$=x^3+3x^2+x+7. параллельный прямой y=-2x+1

Для того чтобы написать уравнение касательной к графику функции $f(x$ = x^3 + 3x^2 + x + 7 ), которая параллельна заданной прямой $y=-2x+1$, мы должны найти точку на графике функции $f(x$ ), в которой производная $f^{\prime }(x$ ) равна угловому коэффициенту данной прямой, то есть -2.

1. Находим производную функции $f(x$ ): $f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3+3x^2+x+7)=3x^2+6x+1.$

2. Решаем уравнение $f^{\prime }(x$ = -2 ) для нахождения $x$: $3x^2+6x+1=-2⟹3x^2+6x+3=0.$ Факторизуем это квадратное уравнение: $3(x^2+2x+1)=3(x+1{)}^2=0⟹x+1=0⟹x=-1.$

3. Находим $y$-координату точки касания, подставив $x=-1$ в $f(x$ ): $f(-1)=(-1{)}^3+3(-1{)}^2+(-1)+7=-1+3-1+7=8.$ Таким образом, точка касания $-1,8$.

4. Записываем уравнение касательной в точке $(-1,8$ ) с угловым коэффициентом -2: Формула касательной: $y-y_1=m(x-x_1),$ где $(x_1,y_1$ ) - точка касания $-1,8$, а $m=-2$. Тогда: $y-8=-2(x+1)⟹y-8=-2x-2⟹y=-2x+6.$

Итак, уравнение касательной к функции $f(x$ = x^3 + 3x^2 + x + 7 ) в точке $x=-1$, которая параллельна прямой $y=-2x+1$, имеет вид: $y=-2x+6.$

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f$x$ = x^3 + 3x^2 + x + 7, параллельной прямой y = -2x + 1, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f$x$: f'$x$ = 3x^2 + 6x + 1

2. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке касания. Для этого приравняем производную к -2 $угловойкоэффициентпараллельнойпрямой$: 3x^2 + 6x + 1 = -2 3x^2 + 6x + 3 = 0 x^2 + 2x + 1 = 0 $x+1$^2 = 0 x = -1

3. Найдем значение функции в точке касания: f$-1$ = $-1$^3 + 3$-1$^2 - 1 + 7 = -1 + 3 - 1 + 7 = 8

Таким образом, точка касания имеет координаты $-1,8$.

1. Теперь найдем уравнение касательной, проходящей через точку $-1,8$: y - 8 = -2$x+1$ y - 8 = -2x - 2 y = -2x + 6

Итак, уравнение касательной к графику функции f$x$ = x^3 + 3x^2 + x + 7, параллельной прямой y = -2x + 1, равно y = -2x + 6.

Уравнение касательной к графику функции f$x$=x^3+3x^2+x+7, параллельной прямой y=-2x+1, равно y=-2x+13.