Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2+x+7. параллельный прямой y=-2x+1

Для того чтобы написать уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7 ), которая параллельна заданной прямой ( y = -2x + 1 ), мы должны найти точку на графике функции ( f(x) ), в которой производная ( f'(x) ) равна угловому коэффициенту данной прямой, то есть -2.

1. Находим производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + x + 7) = 3x^2 + 6x + 1. ]

2. Решаем уравнение ( f'(x) = -2 ) для нахождения ( x ): [ 3x^2 + 6x + 1 = -2 \implies 3x^2 + 6x + 3 = 0. ] Факторизуем это квадратное уравнение: [ 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1. ]

3. Находим ( y )-координату точки касания, подставив ( x = -1 ) в ( f(x) ): [ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1) + 7 = -1 + 3 - 1 + 7 = 8. ] Таким образом, точка касания (-1, 8).

4. Записываем уравнение касательной в точке ( (-1, 8) ) с угловым коэффициентом -2: Формула касательной: [ y - y_1 = m(x - x_1), ] где ( (x_1, y_1) ) - точка касания (-1, 8), а ( m = -2 ). Тогда: [ y - 8 = -2(x + 1) \implies y - 8 = -2x - 2 \implies y = -2x + 6. ]

Итак, уравнение касательной к функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7 ) в точке ( x = -1 ), которая параллельна прямой ( y = -2x + 1 ), имеет вид: [ y = -2x + 6. ]

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7, параллельной прямой y = -2x + 1, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 + 6x + 1

2. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке касания. Для этого приравняем производную к -2 (угловой коэффициент параллельной прямой): 3x^2 + 6x + 1 = -2 3x^2 + 6x + 3 = 0 x^2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)^2 = 0 x = -1

3. Найдем значение функции в точке касания: f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 + 7 = -1 + 3 - 1 + 7 = 8

Таким образом, точка касания имеет координаты (-1, 8).

1. Теперь найдем уравнение касательной, проходящей через точку (-1, 8): y - 8 = -2(x + 1) y - 8 = -2x - 2 y = -2x + 6

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7, параллельной прямой y = -2x + 1, равно y = -2x + 6.

Уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+3x^2+x+7, параллельной прямой y=-2x+1, равно y=-2x+13.