Не выполняя построений, найдите координаты точек пересечения параболы у=х²-5 и окружности х²+у²=25.

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы ( y = x^2 - 5 ) и окружности ( x^2 + y^2 = 25 ), нужно решить систему уравнений:

1. ( y = x^2 - 5 )
2. ( x^2 + y^2 = 25 )

Подставим первое уравнение во второе:

[ x^2 + (x^2 - 5)^2 = 25 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ x^2 + (x^2 - 5)^2 = x^2 + (x^4 - 10x^2 + 25) ]

Теперь уравнение выглядит так:

[ x^2 + x^4 - 10x^2 + 25 = 25 ]

Упростим его:

[ x^4 - 9x^2 + x^2 + 25 - 25 = 0 ]

[ x^4 - 9x^2 = 0 ]

Вынесем ( x^2 ) за скобки:

[ x^2(x^2 - 9) = 0 ]

Это уравнение имеет два множителя:

1. ( x^2 = 0 )
2. ( x^2 - 9 = 0 )

Решим каждое из них:

1. ( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 )

2. ( x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 )

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого значения ( x ):

• Для ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 5 = -5 ] Точка пересечения: ( (0, -5) ).

• Для ( x = 3 ): [ y = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 ] Точка пересечения: ( (3, 4) ).

• Для ( x = -3 ): [ y = (-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4 ] Точка пересечения: ( (-3, 4) ).

Таким образом, координаты точек пересечения параболы и окружности: ( (0, -5) ), ( (3, 4) ), и ( (-3, 4) ).

Для того чтобы найти точки пересечения параболы у=х²-5 и окружности х²+у²=25, подставим выражение для у из параболы в уравнение окружности:

х² + (х² - 5) = 25 2х² - 5 = 25 2х² = 30 х² = 15 x = ±√15

Теперь найдем соответствующие значения у, подставив найденные значения х обратно в уравнение параболы:

y = (√15)² - 5 = 15 - 5 = 10 y = (-√15)² - 5 = 15 - 5 = 10

Таким образом, координаты точек пересечения параболы у=х²-5 и окружности х²+у²=25 равны ( √15, 10) и (-√15, 10).