№1.Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке 1) у=х^7, х пренадлежит [-2; 3];...

Конечно, давайте рассмотрим каждый из вопросов по отдельности.

Задача 1: Найти наибольшее и наименьшее значение функции ( y = x^7 ) на отрезке ( x \in [-2, 3] ).

1. Анализ функции: Функция ( y = x^7 ) является степенной функцией с нечетной степенью. Она является монотонно возрастающей на всей числовой оси, так как производная ( y' = 7x^6 ) неотрицательна для всех ( x ) (равна нулю только в точке ( x = 0 )).

2. Нахождение критических точек: Для поиска экстремумов функции внутри отрезка найдём производную и приравняем её к нулю: [ y' = 7x^6 = 0. ] Решением уравнения является ( x = 0 ), но это не критическая точка на отрезке ([-2, 3]), так как функция не меняет знак производной.

3. Значения на концах отрезка:

   • ( y(-2) = (-2)^7 = -128 ),
   • ( y(3) = 3^7 = 2187 ).

4. Вывод: Поскольку функция монотонно возрастает на всем отрезке, наименьшее значение достигается в точке ( x = -2 ), а наибольшее значение — в точке ( x = 3 ). Таким образом:

   • Наименьшее значение: ( y(-2) = -128 ).
   • Наибольшее значение: ( y(3) = 2187 ).

Задача 2: Сравнить с единицей число ( (1.02)^4 ) с помощью свойств степенной функции.

1. Анализ функции: Рассмотрим функцию ( f(x) = x^4 ) для ( x > 0 ). Эта функция является возрастающей, так как её производная ( f'(x) = 4x^3 ) положительна для всех ( x > 0 ).

2. Сравнение с единицей: Поскольку ( 1.02 > 1 ), и функция ( f(x) = x^4 ) возрастает на интервале ( x > 0 ), то: [ (1.02)^4 > 1^4 = 1. ]

3. Численный результат: Для более точного представления можно рассчитать значение ( (1.02)^4 ): [ (1.02)^4 = 1.02 \times 1.02 \times 1.02 \times 1.02 \approx 1.08243216. ] Это подтверждает, что ( (1.02)^4 > 1 ).

Таким образом, число ( (1.02)^4 ) больше единицы, что следует из свойств возрастающей степенной функции.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у=х^7 на отрезке [-2; 3] необходимо найти значения функции при граничных точках и в критических точках.

При х=-2: у=(-2)^7=-128 При х=3: у=3^7=2187

Далее найдем критические точки, где производная функции равна нулю: у'=7х^6 7х^6=0 х=0

Подставим найденные точки в функцию: При х=0: у=0

Таким образом, наибольшее значение функции у=х^7 на отрезке [-2; 3] равно 2187 при х=3, наименьшее значение равно -128 при х=-2, а в точке х=0 функция принимает значение 0.

2) Для сравнения числа (1,02)^4 с единицей воспользуемся свойством степеней: (1,02)^4 = 1,02 1,02 1,02 * 1,02 = 1,08285664

Таким образом, число (1,02)^4 больше единицы.