Один катет прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого.Найдите длину каждого катета,если площадь...

Для решения задачи используем формулу для площади прямоугольного треугольника:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times b, ]

где ( a ) и ( b ) — длины катетов.

По условию задачи, один катет на 5 см меньше другого. Пусть длина меньшего катета будет ( x ) см. Тогда длина другого катета будет ( x + 5 ) см.

Подставим эти выражения в формулу для площади:

[ 42 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 5). ]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ 84 = x \times (x + 5). ]

Раскроем скобки:

[ 84 = x^2 + 5x. ]

Перенесем все на одну сторону уравнения:

[ x^2 + 5x - 84 = 0. ]

Это квадратное уравнение. Для его решения используем формулу корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, ]

где ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -84 ).

Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 1 \times (-84) = 25 + 336 = 361. ]

Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

[ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{361}}}{2} = \frac{{-5 \pm 19}}{2}. ]

Рассмотрим два случая:

1. ( x = \frac{{-5 + 19}}{2} = \frac{14}{2} = 7. )
2. ( x = \frac{{-5 - 19}}{2} = \frac{-24}{2} = -12. )

Поскольку длина не может быть отрицательной, принимаем ( x = 7 ).

Тогда длины катетов:

• Один катет: ( x = 7 ) см.
• Другой катет: ( x + 5 = 12 ) см.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 7 см и 12 см.

Пусть длина одного катета равна x см, тогда длина другого катета будет (x + 5) см. По формуле площади прямоугольного треугольника S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов, получаем уравнение:

(x * (x + 5)) / 2 = 42

Упростим уравнение:

x^2 + 5x = 84 x^2 + 5x - 84 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем два корня: x1 = 7 и x2 = -12. Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 7 см. Следовательно, длина одного катета равна 7 см, а другого 12 см.