Один корень квадратного уравнения x^2-4x+c=0 равен 2+корень из 3.Найдите другой корень и значение с

Для начала вспомним основные свойства квадратных уравнений. Уравнение вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) имеет корни, которые можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Но в данном случае мы будем использовать свойства симметрии корней и теорему Виета.

Теорема Виета

Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) корни ( x_1 ) и ( x_2 ) удовлетворяют следующим соотношениям:

1. Сумма корней: ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
2. Произведение корней: ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )

В нашем уравнении ( x^2 - 4x + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = -4 ), и ( c ) неизвестно.

Известный корень

Из условия задачи известно, что один из корней равен ( 2 + \sqrt{3} ). Обозначим его за ( x_1 ):

[ x_1 = 2 + \sqrt{3} ]

Найдем второй корень

Обозначим второй корень за ( x_2 ). Тогда по теореме Виета:

1. Сумма корней: ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4 )

Подставим значение ( x_1 ):

[ (2 + \sqrt{3}) + x_2 = 4 ]

Решим это уравнение для ( x_2 ):

[ x_2 = 4 - (2 + \sqrt{3}) ] [ x_2 = 4 - 2 - \sqrt{3} ] [ x_2 = 2 - \sqrt{3} ]

Найдем значение ( c )

Теперь найдем значение ( c ) с помощью второго соотношения теоремы Виета:

1. Произведение корней: ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = c )

Подставим значения корней:

[ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = c ]

Используем формулу для разности квадратов ( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 ):

[ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 ] [ = 4 - 3 ] [ = 1 ]

Таким образом, значение ( c ):

[ c = 1 ]

Ответ

Другой корень квадратного уравнения ( x^2 - 4x + c = 0 ) равен ( 2 - \sqrt{3} ), а значение ( c ) равно 1.

Для нахождения другого корня квадратного уравнения можно воспользоваться свойствами квадратного уравнения.

Известно, что сумма корней квадратного уравнения x^2 - 4x + c = 0 равна -b/a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае a = 1, b = -4. Следовательно, сумма корней равна 4.

Так как один корень уже известен и равен 2 + √3, то другой корень можно найти, вычтя из суммы корней известный корень: Другой корень = 4 - (2 + √3) = 2 - √3

Теперь, найдем значение c. Известно, что произведение корней квадратного уравнения равно c/a. В данном случае а = 1. Произведение корней равно (2 + √3) * (2 - √3) = 4 - 3 = 1. Следовательно, c = 1.

Таким образом, другой корень квадратного уравнения x^2 - 4x + c = 0 равен 2 - √3, а значение c равно 1.

Другой корень - 2-корень из 3, значение с = 1.