Основание равнобедренной трапеции равны 4 и 16, а ее периметр равен 40. Найдите площадь трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции равна 64.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нужно сначала определить высоту трапеции. Дано, что основания трапеции равны ( a = 4 ) и ( b = 16 ), а периметр равен 40.

Обозначим длины боковых сторон трапеции через ( c ). Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, и периметр выражается как: [ P = a + b + 2c ] Подставим известные значения: [ 40 = 4 + 16 + 2c ] Решим уравнение для ( c ): [ 40 = 20 + 2c ] [ 20 = 2c ] [ c = 10 ]

Теперь нужно найти высоту трапеции ( h ). Рассмотрим трапецию и опустим перпендикуляры из верхних углов на нижнее основание. Эти перпендикуляры разобьют нижнее основание на три отрезка: двумя из них будут нижние основания прямоугольных треугольников при основании трапеции, а третий отрезок будет равен верхнему основанию трапеции ( a = 4 ).

Обозначим длины отрезков на нижнем основании, которые являются основаниями прямоугольных треугольников, через ( x ). Тогда: [ x + 4 + x = 16 ] [ 2x + 4 = 16 ] [ 2x = 12 ] [ x = 6 ]

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника с основанием ( 6 ) и гипотенузой ( 10 ). Используем теорему Пифагора для нахождения высоты ( h ): [ 10^2 = 6^2 + h^2 ] [ 100 = 36 + h^2 ] [ h^2 = 64 ] [ h = 8 ]

Теперь можем найти площадь трапеции ( S ) по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h ] Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \times (4 + 16) \times 8 ] [ S = \frac{1}{2} \times 20 \times 8 ] [ S = 10 \times 8 ] [ S = 80 ]

Таким образом, площадь данной равнобедренной трапеции равна 80 квадратных единиц.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади трапеции: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Из условия задачи мы знаем, что основания трапеции равны 4 и 16, а периметр равен 40. По определению периметра трапеции, сумма всех сторон равна периметру, таким образом, находим боковые стороны трапеции: 16 = 2 a + 2 b - 4 16 = 2a + 2b - 4 20 = 2a + 2b 10 = a + b

Так как основания трапеции равны 4 и 16, то получаем, что a = 4, b = 16.

Теперь найдем высоту трапеции. Высота трапеции является биссектрисой угла между основаниями и равна треугольнику, который образуется перпендикулярно боковой стороне трапеции и основанию. Получаем, что высота трапеции равна 6.

Подставляем полученные значения в формулу для площади трапеции: S = (4 + 16) 6 / 2 S = 20 6 / 2 S = 120 / 2 S = 60

Ответ: площадь равнобедренной трапеции равна 60.