Освободитесь от знака корня в знаменателе 5/корень13-корень3

Чтобы избавиться от знака корня в знаменателе дроби ( \frac{5}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} ), нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для ( \sqrt{13} - \sqrt{3} ) — это ( \sqrt{13} + \sqrt{3} ).

Запишем это преобразование:

[ \frac{5}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{13} + \sqrt{3})}{(\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3})} ]

Теперь вычислим знаменатель:

[ (\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3}) = \sqrt{13}^2 - \sqrt{3}^2 = 13 - 3 = 10 ]

Теперь подставим это обратно в дробь:

[ \frac{5(\sqrt{13} + \sqrt{3})}{10} ]

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

[ \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{2} ]

Таким образом, окончательный результат, освобожденный от знака корня в знаменателе, выглядит так:

[ \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{2} ]

Для того чтобы избавиться от радикала (знака корня) в знаменателе дроби, нужно выполнить процесс, который называется рационализацией знаменателя. Это достигается умножением числителя и знаменателя дроби на сопряжённое выражение знаменателя. Сопряжённое выражение знаменателя получается путём изменения знака перед корнем в знаменателе.

Итак, у нас есть дробь:

[ \frac{5}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} ]

Шаг 1. Умножение числителя и знаменателя на сопряжённое выражение знаменателя

Сопряжённое выражение для (\sqrt{13} - \sqrt{3}) — это (\sqrt{13} + \sqrt{3}). Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

[ \frac{5}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} ]

Теперь числитель и знаменатель будут выглядеть так:

[ \frac{5 (\sqrt{13} + \sqrt{3})}{(\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3})} ]

Шаг 2. Применение формулы разности квадратов в знаменателе

В знаменателе мы видим произведение двух сопряжённых выражений. Применим формулу разности квадратов:

[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 ]

В нашем случае (a = \sqrt{13}), (b = \sqrt{3}). Тогда:

[ (\sqrt{13} - \sqrt{3})(\sqrt{13} + \sqrt{3}) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 - 3 = 10 ]

Итак, знаменатель стал равен (10).

Шаг 3. Запись упрощённой дроби

Теперь дробь выглядит так:

[ \frac{5 (\sqrt{13} + \sqrt{3})}{10} ]

Разделим числитель на знаменатель:

[ \frac{5}{10} (\sqrt{13} + \sqrt{3}) ]

[ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} ]

Итак, окончательный результат:

[ \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{2} ]

Ответ:

После освобождения от корня в знаменателе, выражение принимает вид:

[ \frac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{2} ]