Периметр прямоугольного треугольника равен 48 ,один из катетов на 4 больше другого. Чему равны стороны...

Для решения задачи о нахождении сторон прямоугольного треугольника, когда его периметр равен 48, а один из катетов на 4 больше другого, нужно воспользоваться системой уравнений.

Обозначим:

• ( a ) — длина одного катета,
• ( b ) — длина другого катета,
• ( c ) — длина гипотенузы.

Из условия задачи у нас есть следующие уравнения:

1. ( a + b + c = 48 ) (периметр треугольника)
2. ( b = a + 4 ) (один катет на 4 больше другого)
3. ( c = \sqrt{a^2 + b^2} ) (гипотенуза в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора)

Подставим ( b = a + 4 ) в уравнение для гипотенузы: [ c = \sqrt{a^2 + (a + 4)^2} ] [ c = \sqrt{a^2 + a^2 + 8a + 16} ] [ c = \sqrt{2a^2 + 8a + 16} ]

Теперь подставим ( b = a + 4 ) и ( c = \sqrt{2a^2 + 8a + 16} ) в уравнение периметра: [ a + (a + 4) + \sqrt{2a^2 + 8a + 16} = 48 ] [ 2a + 4 + \sqrt{2a^2 + 8a + 16} = 48 ] [ \sqrt{2a^2 + 8a + 16} = 48 - 2a - 4 ] [ \sqrt{2a^2 + 8a + 16} = 44 - 2a ]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ 2a^2 + 8a + 16 = (44 - 2a)^2 ] [ 2a^2 + 8a + 16 = 1936 - 176a + 4a^2 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 2a^2 + 8a + 16 = 4a^2 - 176a + 1936 ] [ 0 = 2a^2 - 184a + 1920 ] [ 2a^2 - 184a + 1920 = 0 ]

Разделим уравнение на 2: [ a^2 - 92a + 960 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Здесь ( a = 1 ), ( b = -92 ), ( c = 960 ): [ a = \frac{92 \pm \sqrt{92^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960}}{2 \cdot 1} ] [ a = \frac{92 \pm \sqrt{8464 - 3840}}{2} ] [ a = \frac{92 \pm \sqrt{4624}}{2} ] [ a = \frac{92 \pm 68}{2} ]

Получаем два значения: [ a = \frac{92 + 68}{2} = 80 ] [ a = \frac{92 - 68}{2} = 12 ]

То есть, у нас два возможных решения для катета ( a ), но рассмотрим оба случая:

1. Если ( a = 12 ): [ b = a + 4 = 12 + 4 = 16 ] [ c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 ]

Проверим периметр: [ 12 + 16 + 20 = 48 ]

Все верно.

1. Если ( a = 80 ): [ b = a + 4 = 80 + 4 = 84 ] [ c = \sqrt{80^2 + 84^2} = \sqrt{6400 + 7056} = \sqrt{13456} ]

Периметр: [ 80 + 84 + \sqrt{13456} \neq 48 ]

Таким образом, единственное подходящее решение: Катеты ( a = 12 ) и ( b = 16 ), гипотенуза ( c = 20 ).

Пусть один катет треугольника равен x, тогда второй катет будет равен x + 4. По теореме Пифагора получаем: x^2 + (x + 4)^2 = (x + 4)^2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: x^2 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 8x + 16. Упростим уравнение: 2x^2 + 8x = 0. Разделим обе части на 2: x^2 + 4x = 0. Теперь решим уравнение x(x + 4) = 0. Получаем два возможных значения для x: x = 0 или x = -4. Так как сторона не может быть отрицательной, то x = 0. Следовательно, стороны треугольника равны 0 и 4.

Пусть один катет равен x, тогда второй катет будет x+4. По теореме Пифагора имеем: ( x^2 + (x+4)^2 = (x+4)^2 ).

Решая данное уравнение, получаем x = 8, а значит катеты равны 8 и 12.