Первообразная 1/корень из х

Чтобы найти первообразную функции ( \frac{1}{\sqrt{x}} ), сначала представим её в более удобной для интегрирования форме. Мы можем записать ( \frac{1}{\sqrt{x}} ) как ( x^{-\frac{1}{2}} ).

Теперь нам нужно найти первообразную функции ( x^{-\frac{1}{2}} ). В общем случае, первообразная функции ( x^n ) (где ( n \neq -1 )) даётся формулой:

[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, ]

где ( C ) — это произвольная постоянная интегрирования.

Для нашей функции ( x^{-\frac{1}{2}} ):

1. Определим значение ( n ). Здесь ( n = -\frac{1}{2} ).
2. Применим формулу:

[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C. ]

1. Упростим выражение в показателе степени:

[ -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. ]

Так что интеграл становится:

[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C. ]

1. Упростим результат:

[ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}}. ]

Поскольку ( x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} ), окончательный результат будет:

[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C. ]

Таким образом, первообразная функции ( \frac{1}{\sqrt{x}} ) равна ( 2\sqrt{x} + C ), где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Первообразной функции 1/корень из х является функция 2корень из х. Для того чтобы найти первообразную данной функции, нужно использовать метод интегрирования. Для этого мы можем представить функцию 1/корень из х как х^(-1/2) и затем воспользоваться формулой интегрирования степенной функции. Таким образом, интеграл от 1/корень из х будет равен 2корень из х + C, где C - произвольная постоянная.