Постройте график функции y=(x-9)(x^2-9)/(x^2-6x-27) и определите, при каких значениях построенный график не будет иметь общих точек с прямой y=kx
Постройте график функции y=(x-9)(x^2-9)/(x^2-6x-27) и определите, при каких значениях построенный график не будет иметь общих точек с прямой y=kx
Чтобы построить график функции ( y = \frac{(x-9)(x^2-9)}{x^2-6x-27} ) и определить значения ( k ), при которых график не будет иметь общих точек с прямой ( y = kx ), выполним следующие шаги:
Упрощение функции:
Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: ( (x-9)(x^2-9) = (x-9)(x-3)(x+3) ).
Знаменатель: ( x^2-6x-27 ) решим через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144. ] Корни: ( x = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2} ).
Это дает корни ( x = 9 ) и ( x = -3 ).
Таким образом, знаменатель разложится как ( (x - 9)(x + 3) ).
Упростим выражение:
Функция принимает вид: [ y = \frac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x-9)(x+3)}. ]
Сократим на ( (x-9)(x+3) ), учитывая, что ( x \neq 9 ) и ( x \neq -3 ), так как это точки, где функция не определена. Получаем: [ y = x - 3. ]
График функции ( y = x - 3 ) — это прямая, но с выколотыми точками в ( x = 9 ) и ( x = -3 ).
Исследуем пересечение с прямой ( y = kx ):
Прямая ( y = x - 3 ) не будет пересекаться с прямой ( y = kx ), если у них одинаковый коэффициент наклона и разные свободные члены. Приравняем уравнения: [ x - 3 = kx. ]
Это даст: [ x - kx = 3 \quad \Rightarrow \quad x(1-k) = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{1-k}. ]
Для того чтобы не было пересечения, уравнение не должно иметь решений, т.е. знаменатель не должен равняться нулю:
[ 1 - k \neq 0 \quad \Rightarrow \quad k \neq 1. ]
Таким образом, для ( k = 1 ) прямые будут параллельны и не пересекутся, если их свободные члены различны. В нашем случае ( y = x - 3 ) и ( y = x ) (при ( k = 1 )) — это параллельные прямые, которые не пересекаются.
Ответ:
Построенный график функции ( y = \frac{(x-9)(x^2-9)}{x^2-6x-27} ) не будет иметь общих точек с прямой ( y = kx ) при ( k = 1 ).
Для того чтобы найти точки пересечения графика функции y=(x-9)(x^2-9)/(x^2-6x-27) с прямой y=kx, нужно решить уравнение (x-9)(x^2-9)/(x^2-6x-27) = kx.
Для построения графика функции y=(x-9)(x^2-9)/(x^2-6x-27) сначала найдем ее область определения. Функция не определена при x^2-6x-27=0, то есть при x=9 или x=-3. Поэтому областью определения функции будет множество всех x, кроме x=9 и x=-3.
Далее, найдем вертикальные асимптоты функции. Для этого разложим функцию на простейшие дроби: y=(x-9)(x+3)(x-3)/(x+3)(x-9), затем упростим выражение и получим y=x-3. Таким образом, вертикальной асимптотой функции будет прямая x=3.
Теперь найдем горизонтальные асимптоты функции. Для этого рассмотрим предел функции при x->±∞. После выполнения необходимых действий мы получим горизонтальную асимптоту y=1.
Изобразим на графике вертикальную асимптоту x=3 и горизонтальную асимптоту y=1. Затем проведем анализ графика и определим, при каких значениях k прямая y=kx не будет иметь общих точек с графиком функции. В данном случае, прямая y=kx не пересечется с графиком функции в тех точках, где значение функции не равно значению прямой для одного и того же x.
Таким образом, расширенный ответ на вопрос о построении графика функции и его взаимодействии с прямой y=kx позволяет понять особенности поведения функции и найти значения k, при которых прямая и график не пересекаются.
