Помоги пожалуйста решить уравнение: cos6x=-корень из 3 поделить на 2
Помоги пожалуйста решить уравнение: cos6x=-корень из 3 поделить на 2
Для решения уравнения cos6x = -√3/2 нужно найти значения x, когда cos6x равен -√3/2.
Чтобы решить уравнение (\cos(6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}), мы начнем с рассмотрения значения косинуса. Мы знаем, что (\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) при углах (\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi) и (\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi), где (k) — целое число. Эти значения соответствуют углам во второй и третьей четвертях, где косинус отрицателен.
Теперь применим это к нашему уравнению:
Разделим обе части каждого уравнения на 6, чтобы найти (x):
Эти два выражения дают общее решение уравнения (\cos(6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}). Здесь (k) — любое целое число, и каждое решение соответствует одному из периодических значений функции косинуса. Таким образом, общее решение для (x) будет:
[x = \frac{5\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}] [x = \frac{7\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}]
Это означает, что вы можете подставлять любое целое значение (k) для получения конкретных решений, которые удовлетворяют уравнению.
Для решения уравнения cos(6x) = -√3/2 используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2a) = 2cos^2(a) - 1. Подставим a=3x в формулу: cos(6x) = 2cos^2(3x) - 1. Заменим cos^2(3x) на 1 - sin^2(3x) (используем тождество cos^2(a) = 1 - sin^2(a)): cos(6x) = 2(1 - sin^2(3x)) - 1.
Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: cos(6x) = 2 - 2sin^2(3x) - 1 = 1 - 2sin^2(3x).
Таким образом, уравнение принимает вид: 1 - 2sin^2(3x) = -√3/2. Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения и приведем его к более простому виду: 2sin^2(3x) = 1 + √3/2.
Далее найдем sin(3x) с помощью тригонометрической формулы синуса для удвоенного угла: sin(2a) = 2sin(a)cos(a). Подставим a=3x и используем тождество sin(2a) = 2sin(a)cos(a): sin(6x) = 2sin(3x)cos(3x).
Таким образом, уравнение принимает вид: 2sin(3x)cos(3x) = 1 + √3/2. Произведем замену sin(3x) = t и cos(3x) = √(1 - t^2), где t - новая переменная.
Подставим в уравнение: 2t√(1 - t^2) = 1 + √3/2. Возведем обе части уравнения в квадрат и решим полученное квадратное уравнение относительно переменной t.
После нахождения корней уравнения найдем sin(3x) и cos(3x) с помощью найденных значений переменной t. Далее найдем sin(6x) и cos(6x) и, наконец, найдем значения угла x, удовлетворяющие исходному уравнению cos(6x) = -√3/2.
