Помогите пожалуйста, исследуйте с помощью производной функцию f(x)=2x^3-3x^2+5 и постройте ее график

Чтобы исследовать функцию f(x)=2x^3-3x^2+5 с помощью производной, нужно найти производную функции f'(x)=6x^2-6x. Затем найти точки экстремума, точки перегиба и нарисовать график функции f(x) вместе с найденными точками.

Для исследования функции ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 ) с помощью производной, следуйте этим шагам:

1. Найдите первую производную функции

Первая производная функции ( f(x) ) поможет определить критические точки и интервалы возрастания и убывания функции. Найдем производную:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + 5) = 6x^2 - 6x. ]

2. Найдите критические точки

Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

[ 6x^2 - 6x = 0 ]

Разделим на 6:

[ x^2 - x = 0 ]

Разложим на множители:

[ x(x - 1) = 0 ]

Получим критические точки:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1. ]

3. Определите интервалы возрастания и убывания

Используем тест на знак первой производной. Рассмотрим интервалы, основанные на критических точках: ((-\infty, 0)), ((0, 1)), ((1, \infty)).

• На интервале ((-\infty, 0)), возьмем тестовую точку ( x = -1 ): [ f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0. ] Функция возрастает.

• На интервале ((0, 1)), возьмем тестовую точку ( x = 0.5 ): [ f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0. ] Функция убывает.

• На интервале ((1, \infty)), возьмем тестовую точку ( x = 2 ): [ f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 > 0. ] Функция возрастает.

4. Найдите вторую производную для анализа выпуклости

Вторая производная поможет определить выпуклость и точки перегиба.

[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6. ]

Решите уравнение ( f''(x) = 0 ) для нахождения точек перегиба:

[ 12x - 6 = 0 ]

[ 12x = 6 ]

[ x = \frac{1}{2}. ]

5. Определите выпуклость

Рассмотрим интервалы ((-\infty, \frac{1}{2})) и ((\frac{1}{2}, \infty)):

• На интервале ((-\infty, \frac{1}{2})), возьмем тестовую точку ( x = 0 ): [ f''(0) = 12(0) - 6 = -6 < 0. ] Функция вогнута.

• На интервале ((\frac{1}{2}, \infty)), возьмем тестовую точку ( x = 1 ): [ f''(1) = 12(1) - 6 = 6 > 0. ] Функция выпукла.

6. Постройте график функции

Используя эту информацию, можно построить график функции:

• Критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 1 ).
• Интервалы возрастания: ((-\infty, 0)) и ((1, \infty)).
• Интервал убывания: ((0, 1)).
• Точка перегиба: ( x = \frac{1}{2} ).
• Вогнутость: ((-\infty, \frac{1}{2})).
• Выпуклость: ((\frac{1}{2}, \infty)).

Теперь график функции можно построить, учитывая эти особенности. Функция кубическая, и её форма будет соответствовать характеристикам, описанным выше.

Для исследования функции f(x)=2x^3-3x^2+5 сначала найдем производные первого и второго порядка.

f'(x) = 6x^2 - 6x f''(x) = 12x - 6

Теперь найдем точки экстремума и точки перегиба функции. Для этого приравняем производные к нулю:

6x^2 - 6x = 0 x(6x - 6) = 0 x = 0 или x = 1

Точки экстремума: Подставим найденные значения x в исходную функцию:

f(0) = 5 f(1) = 4

Таким образом, точки экстремума функции f(x) равны (0, 5) и (1, 4).

Теперь найдем точку перегиба функции:

12x - 6 = 0 x = 0.5

Точка перегиба функции: (0.5, 4.875)

Построим график функции f(x)=2x^3-3x^2+5 с помощью найденных точек и данных о поведении функции в окрестности точек экстремума и точки перегиба. График будет представлять собой кубическую параболу с точками экстремума в (0, 5) и (1, 4), а также точкой перегиба в (0.5, 4.875).