Помогите пожалуйста решить эти неравенства: x^2-64 больше или равно 0

Для решения неравенства ( x^2 - 64 \geq 0 ) начнем с упрощения и анализа выражения. Заметим, что ( x^2 - 64 ) можно переписать как разность квадратов:

[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) ]

Теперь неравенство принимает вид:

[ (x - 8)(x + 8) \geq 0 ]

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни уравнения ( (x - 8)(x + 8) = 0 ):

1. ( x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8 )
2. ( x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8 )

Теперь у нас есть два корня, которые делят числовую прямую на три интервала: ( x < -8 ), ( -8 < x < 8 ) и ( x > 8 ). Нам нужно определить, на каких из этих интервалов произведение ( (x - 8)(x + 8) ) будет неотрицательным.

• Когда ( x < -8 ) (например, ( x = -9 )): [ (x - 8)(x + 8) = (-9 - 8)(-9 + 8) = (-17)(-1) = 17 \geq 0 ]

• Когда ( -8 < x < 8 ) (например, ( x = 0 )): [ (x - 8)(x + 8) = (0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 \not\geq 0 ]

• Когда ( x > 8 ) (например, ( x = 9 )): [ (x - 8)(x + 8) = (9 - 8)(9 + 8) = (1)(17) = 17 \geq 0 ]

Также учтем значения на границах интервалов ( x = -8 ) и ( x = 8 ), где: [ (x - 8)(x + 8) = 0 ]

Итак, произведение ( (x - 8)(x + 8) ) неотрицательно, когда ( x \leq -8 ) или ( x \geq 8 ). Таким образом, решением неравенства ( x^2 - 64 \geq 0 ) является:

[ x \in (-\infty, -8] \cup [8, \infty) ]

Это означает, что ( x ) может принимать любые значения меньше или равные (-8) и все значения больше или равные (8).

Для решения данного неравенства x^2 - 64 >= 0 необходимо найти все значения переменной x, при которых данное неравенство выполняется.

Сначала найдем корни уравнения x^2 - 64 = 0: x^2 - 64 = 0 (x - 8)(x + 8) = 0 x = 8 или x = -8

Теперь построим знаки выражения x^2 - 64 на числовой оси, используя найденные корни: ---(-8)---(-8)---(0)---(8)---(8)---

После этого выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство для определения знака выражения x^2 - 64 в каждом интервале.

1. Для x < -8: Пусть x = -9 (-9)^2 - 64 = 81 - 64 = 17 > 0 Значит, в интервале x < -8 выражение x^2 - 64 > 0

2. Для -8 < x < 8: Пусть x = 0 0^2 - 64 = -64 < 0 Значит, в интервале -8 < x < 8 выражение x^2 - 64 < 0

3. Для x > 8: Пусть x = 9 9^2 - 64 = 81 - 64 = 17 > 0 Значит, в интервале x > 8 выражение x^2 - 64 > 0

Таким образом, решением неравенства x^2 - 64 >= 0 является множество всех значений переменной x, таких что x <= -8 или x >= 8.