Помогите, пожалуйста, решить уравнения: 1) корень из х - 2 = 4 2) корень из 5 - х = корень из х - 2...

1) Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (√x - 2)^2 = 4^2 x - 4√x + 4 = 16 x - 4√x - 12 = 0 Теперь проведем замену переменной: пусть √x = t Тогда уравнение примет вид: t^2 - 4t - 12 = 0 (t - 6)(t + 2) = 0 t = 6 или t = -2 Так как корень всегда неотрицателен, то t = 6 √x = 6 x = 36

2) Возводим обе части уравнения в квадрат: (√5 - x)^2 = (√x - 2)^2 5 - 2√5x + x^2 = x - 4√x + 4 x^2 - 2√5x + 1 = x - 4√x x^2 - 2√5x + 1 - x + 4√x = 0 x^2 - x - √5x + 4√x + 1 = 0 x(x - 1) - x√5 + 4√x + 1 = 0

3) Возводим обе части уравнения в квадрат: (√x + 1)^2 = (1 - x)^2 x + 2√x + 1 = 1 - 2x + x^2 x + 2√x + 1 = 1 - 2x + x^2 x + 2√x = -2x + x^2 2√x + 2x = x^2 - x 2(√x + x) = x(x - 1) 2√x + 2x = x^2 - x 2√x + 2x - x^2 + x = 0 -x^2 + 3x + 2√x = 0

4) Возводим обе части уравнения в квадрат: (√3x + 1 - √(x+8))^2 = 1^2 3x + 1 - 2√3x√(x+8) + 1 + x + 8 - 2(√3x√(x+8) + √(x+8)) = 1 4x + 10 - 2√3x√(x+8) - 2√(x+8) = 1 4x + 9 - 2√3x√(x+8) - 2√(x+8) = 0 4x + 9 - 2(√3x√(x+8) + √(x+8)) = 0 4x + 9 - 2(√(3x(x+8)) + √(x+8)) = 0 4x + 9 - 2√(3x(x+8) + x+8) = 0

Найденные уравнения могут иметь разные варианты решения в зависимости от заданных условий. Пожалуйста, проверьте правильность написания уравнений и предоставьте дополнительные данные, если необходимо.

Давайте последовательно решим каждое из уравнений:

1) (\sqrt{x} - 2 = 4)

Добавим 2 к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от вычитания:

[ \sqrt{x} = 6 ]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить корень:

[ x = 36 ]

Проверим подстановкой в исходное уравнение: (\sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4). Уравнение выполнено, следовательно, (x = 36).

2) (\sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 2})

Возведем обе части уравнения в квадрат:

[ 5 - x = x - 2 ]

Перенесем все члены, содержащие (x), в одну сторону:

[ 5 + 2 = x + x ]

[ 7 = 2x ]

Разделим обе части на 2, чтобы найти (x):

[ x = \frac{7}{2} ]

Проверим: (\sqrt{5 - \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2} - 2}).

[ \sqrt{\frac{10}{2} - \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{7}{2} - \frac{4}{2}} ]

[ \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} ]

Условие выполнено, следовательно, (x = \frac{7}{2}).

3) (\sqrt{x + 1} = 1 - x)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

[ x + 1 = (1 - x)^2 ]

Раскроем скобки справа:

[ x + 1 = 1 - 2x + x^2 ]

Перенесем все члены в одну сторону:

[ x^2 - 3x + 0 = 0 ]

Решим квадратное уравнение (x^2 - 3x = 0) вынесением общего множителя:

[ x(x - 3) = 0 ]

Отсюда (x_1 = 0) и (x_2 = 3).

Проверим оба корня:

Для (x = 0): (\sqrt{0 + 1} = 1 - 0 \implies 1 = 1).

Для (x = 3): (\sqrt{3 + 1} = 1 - 3 \implies 2 \neq -2).

Следовательно, только (x = 0) является решением.

4) (\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 8} = 1)

Перенесем (\sqrt{x + 8}) в правую часть:

[ \sqrt{3x + 1} = \sqrt{x + 8} + 1 ]

Возведем обе части в квадрат:

[ 3x + 1 = (x + 8) + 2\sqrt{x + 8} + 1 ]

Упростим правую часть:

[ 3x + 1 = x + 9 + 2\sqrt{x + 8} ]

Перенесем все, кроме корня, в левую часть:

[ 2x - 8 = 2\sqrt{x + 8} ]

Разделим обе части на 2:

[ x - 4 = \sqrt{x + 8} ]

Возведем обе части в квадрат:

[ (x - 4)^2 = x + 8 ]

Раскроем скобки:

[ x^2 - 8x + 16 = x + 8 ]

Перенесем все в одну сторону:

[ x^2 - 9x + 8 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант (D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49).

Корни:

[ x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2} ]

(x_1 = \frac{16}{2} = 8)

(x_2 = \frac{2}{2} = 1)

Проверим оба корня:

Для (x = 8): (\sqrt{3 \cdot 8 + 1} - \sqrt{8 + 8} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1). Подходит.

Для (x = 1): (\sqrt{3 \cdot 1 + 1} - \sqrt{1 + 8} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1). Не подходит.

Следовательно, (x = 8) является решением.

Решения: 1) (x = 36) 2) (x = \frac{7}{2}) 3) (x = 0) 4) (x = 8)

1) x = 18 2) x = 3 3) нет решений 4) x = 2