Помогите решить 2sin^2x+sinx-6=0

Чтобы решить уравнение (2\sin^2 x + \sin x - 6 = 0), сначала мы можем сделать замену переменной. Обозначим (y = \sin x). Тогда уравнение примет вид:

[ 2y^2 + y - 6 = 0 ]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = 1), (c = -6). Подставим значения в формулу:

1. Вычислим дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 ]

1. Теперь найдем корни уравнения:

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 7}{4} ]

Это дает два решения:

[ y_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ] [ y_2 = \frac{-8}{4} = -2 ]

Теперь рассмотрим каждое из решений.

1. Решение (y_1 = \frac{3}{2}): Значение (\sin x) не может быть больше 1, поэтому это решение не подходит.

2. Решение (y_2 = -2): Значение (\sin x) также не может быть меньше -1, поэтому это решение тоже не подходит.

Таким образом, у уравнения (2\sin^2 x + \sin x - 6 = 0) нет действительных корней, и следовательно, нет решений в действительных числах.

Чтобы решить уравнение (2\sin^2 x + \sin x - 6 = 0), можно воспользоваться заменой (y = \sin x). Тогда уравнение примет вид:

[2y^2 + y - 6 = 0.]

Решим его с помощью дискриминанта:

[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49.]

Теперь найдем корни:

[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2},] [y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2.]

Поскольку (\sin x) не может принимать значения больше 1 или меньше -1, уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, у уравнения (2\sin^2 x + \sin x - 6 = 0) нет решений.

Давайте решим уравнение ( 2\sin^2x + \sin x - 6 = 0 ). Это тригонометрическое уравнение, но оно имеет вид квадратного уравнения относительно ( \sin x ). Давайте подробно разберем его решение.

Шаг 1. Замена переменной

Обозначим ( y = \sin x ). Тогда уравнение примет вид: [ 2y^2 + y - 6 = 0 ]

Теперь это обычное квадратное уравнение относительно ( y ).

Шаг 2. Решение квадратного уравнения

Вспомним общий вид квадратного уравнения: [ ax^2 + bx + c = 0 ] и формулу для нахождения его корней: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Здесь ( a = 2 ), ( b = 1 ), ( c = -6 ). Подставляем эти значения в формулу.

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 ]

Так как дискриминант положителен (( D = 49 > 0 )), уравнение имеет два корня. Найдем их: [ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ] [ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 ]

Таким образом, два корня квадратного уравнения: [ y_1 = \frac{3}{2}, \quad y_2 = -2 ]

Шаг 3. Анализ полученных корней

Так как ( y = \sin x ), а значение синуса находится в пределах ( -1 \leq \sin x \leq 1 ), то ( y_1 = \frac{3}{2} ) не подходит, так как выходит за пределы допустимых значений синуса.

Остается только ( y_2 = -2 ), но он тоже не входит в допустимый диапазон (( -1 \leq -2 )).

Шаг 4. Вывод

Уравнение ( 2\sin^2x + \sin x - 6 = 0 ) не имеет решений на множестве действительных чисел, так как оба корня выходят за пределы области определения функции синуса.