Помогите решить с проверкой Алгебра log1/3(4x+5)=log1/3(x^2+8x)

Чтобы решить уравнение ( \log{\frac{1}{3}}(4x + 5) = \log{\frac{1}{3}}(x^2 + 8x) ), воспользуемся тем, что если логарифмы равны, то их аргументы также равны, так как основание логарифма (в данном случае (\frac{1}{3})) меньше 1, и следовательно, логарифмическая функция убывает. Это значит, что:

[ 4x + 5 = x^2 + 8x ]

Теперь преобразуем это уравнение. Переносим все члены в одну сторону:

[ 0 = x^2 + 8x - 4x - 5 ]

Упрощаем:

[ 0 = x^2 + 4x - 5 ]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение (x^2 + 4x - 5 = 0) с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

где (a = 1), (b = 4), и (c = -5):

[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения:

[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2} ]

Находим два корня:

1. (x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1)
2. (x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5)

Теперь у нас есть два кандидата на решение: (x = 1) и (x = -5). Однако, так как мы работаем с логарифмами, необходимо проверить, являются ли аргументы логарифмов положительными:

1. Для (x = 1): [ 4(1) + 5 = 4 + 5 = 9 > 0 ] [ 1^2 + 8(1) = 1 + 8 = 9 > 0 ] Аргументы логарифмов положительные, значит (x = 1) является допустимым решением.

2. Для (x = -5): [ 4(-5) + 5 = -20 + 5 = -15 < 0 ] [ (-5)^2 + 8(-5) = 25 - 40 = -15 < 0 ] Аргументы логарифмов отрицательные, значит (x = -5) не является допустимым решением.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

[ \boxed{1} ]

Давайте подробно разберем и решим уравнение:

Условие:

[ \log{\frac{1}{3}}(4x+5) = \log{\frac{1}{3}}(x^2+8x) ]

1. Свойство логарифмов:

Если основание логарифма одинаковое, то уравнение (\log_a A = \log_a B) эквивалентно уравнению (A = B), при условии, что (A > 0) и (B > 0). Таким образом, мы можем записать:

[ 4x + 5 = x^2 + 8x ]

2. Приводим уравнение к стандартному виду:

Переносим все члены в одну часть уравнения:

[ 0 = x^2 + 8x - 4x - 5 ]

[ x^2 + 4x - 5 = 0 ]

3. Решаем квадратное уравнение:

Квадратное уравнение имеет вид (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1), (b = 4), (c = -5). Решим его с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

[ D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 ]

Дискриминант (D = 36) положителен, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} ]

[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{2} ]

Находим отдельно каждый корень:

[ x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 ]

[ x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ]

4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ):

Аргументы логарифмов должны быть строго положительными ((> 0)). Рассмотрим это условие для каждого логарифма:

1. Для (\log_{\frac{1}{3}}(4x + 5)):
   [ 4x + 5 > 0 \implies 4x > -5 \implies x > -\frac{5}{4} ]

2. Для (\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 8x)):
   [ x^2 + 8x > 0 ]

Рассмотрим неравенство (x^2 + 8x > 0). Вынесем (x) за скобки:

[ x(x + 8) > 0 ]

Решаем методом интервалов: корни этого неравенства (x = 0) и (x = -8). Знаки на интервалах ( (-\infty, -8) ), ( (-8, 0) ), ( (0, +\infty) ) чередуются. В результате (x(x+8) > 0) на промежутках:

[ x \in (-\infty, -8) \cup (0, +\infty) ]

Теперь объединим два условия ((x > -\frac{5}{4}) и (x \in (-\infty, -8) \cup (0, +\infty))):

[ x \in (0, +\infty) ]

Таким образом, допустимые значения (x > 0).

5. Проверяем корни на ОДЗ:

• (x_1 = 1):
  Удовлетворяет условию (x > 0).
• (x_2 = -5):
  Не удовлетворяет (x > 0), значит, этот корень не входит в область допустимых значений.

6. Проверка корня (x = 1):

Подставим (x = 1) в исходное уравнение:

[ \log{\frac{1}{3}}(4 \cdot 1 + 5) = \log{\frac{1}{3}}(1^2 + 8 \cdot 1) ]

[ \log{\frac{1}{3}}(9) = \log{\frac{1}{3}}(9) ]

Левую и правую части уравнения можно приравнять, так как основания и значения логарифмов совпадают. Уравнение верно.

Ответ:

[ x = 1 ]

Чтобы решить уравнение ( \log{1/3}(4x + 5) = \log{1/3}(x^2 + 8x) ), воспользуемся свойством логарифмов, что если ( \log_a(b) = \log_a(c) ), то ( b = c ).

Таким образом, мы получаем:

[ 4x + 5 = x^2 + 8x ]

Переносим все слагаемые в одну сторону:

[ 0 = x^2 + 8x - 4x - 5 ] [ 0 = x^2 + 4x - 5 ]

Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 4x - 5 = 0 ) с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ]

Корни уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{2} ]

Находим два корня:

1. ( x_1 = \frac{2}{2} = 1 )
2. ( x_2 = \frac{-10}{2} = -5 )

Теперь проверим, подходят ли полученные значения ( x ) для логарифмов.

Для ( x = 1 ): [ 4(1) + 5 = 9 > 0 \quad \text{и} \quad 1^2 + 8(1) = 9 > 0 ]

Для ( x = -5 ): [ 4(-5) + 5 = -20 + 5 = -15 < 0 \quad \text{(не подходит)} ] [ (-5)^2 + 8(-5) = 25 - 40 = -15 < 0 \quad \text{(не подходит)} ]

Таким образом, единственный подходящий корень:

[ \boxed{1} ]