Помогите решить))) вычислите значение производной функции у = 1\2tg(4x-p)+p\4 x0=p\4

Для нахождения производной данной функции нужно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Ответ: y' = 2(4-p)cos^2(4x-p) - 1/2tg^2(4x-p)

Для решения данной задачи нам необходимо найти производную функции y = 1/2tg(4x - p) + p/4.

Сначала найдем производные от отдельных слагаемых.

1. Производная от 1/2tg(4x - p) будет равна 1/2 (sec^2(4x - p)) 4 = 2sec^2(4x - p).
2. Производная от p/4 будет равна 0, так как константа.

Теперь объединим найденные производные: y' = 2sec^2(4x - p) + 0 y' = 2sec^2(4x - p)

Теперь подставляем значение x0 = p/4: y' = 2sec^2(4(p/4) - p) y' = 2sec^2(4 - p) y' = 2sec^2(4 - p)

Полученное выражение представляет собой значение производной функции y = 1/2tg(4x - p) + p/4 в точке x = p/4.

Для того чтобы найти значение производной функции ( y = \frac{1}{2} \tan(4x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ), следуем следующим шагам:

1. Найдем общую формулу производной функции ( y ):

   Функция у нас следующая: [ y = \frac{1}{2} \tan(4x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} ]

   Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций. Производная суммы равна сумме производных, и производная константы равна нулю. Таким образом, нам нужно найти производную только первой части функции: [ y = \frac{1}{2} \tan(4x - \frac{\pi}{4}) ]

2. Применим правило цепочки для дифференцирования:

   Пусть ( u = 4x - \frac{\pi}{4} ). Тогда функция преобразуется к виду: [ y = \frac{1}{2} \tan(u) ]

   Производная функции ( \tan(u) ) по ( u ) равна ( \sec^2(u) ) (где ( \sec(u) = \frac{1}{\cos(u)} )). Таким образом, производная по ( x ) будет: [ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} ]

3. Найдем производную ( u ) по ( x ):

   [ u = 4x - \frac{\pi}{4} ] [ \frac{du}{dx} = 4 ]

4. Подставим ( \frac{du}{dx} ) и ( u ) в формулу:

   [ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \sec^2(4x - \frac{\pi}{4}) \cdot 4 ] [ \frac{dy}{dx} = 2 \sec^2(4x - \frac{\pi}{4}) ]

5. Вычислим производную в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ):

   Подставим ( x0 ) в выражение для производной: [ \frac{dy}{dx} \bigg|{x = \frac{\pi}{4}} = 2 \sec^2\left(4 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) ] [ = 2 \sec^2\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) ] [ = 2 \sec^2\left(\frac{3\pi}{4}\right) ]

6. Найдем значение ( \sec^2(\frac{3\pi}{4}) ):

   Значение ( \cos(\frac{3\pi}{4}) ) равно (-\frac{1}{\sqrt{2}}). Таким образом, значение секанса будет: [ \sec(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\cos(\frac{3\pi}{4})} = -\sqrt{2} ] [ \sec^2(\frac{3\pi}{4}) = (-\sqrt{2})^2 = 2 ]

7. Вставляем обратно в производную:

   [ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x = \frac{\pi}{4}} = 2 \cdot 2 = 4 ]

Таким образом, значение производной функции ( y = \frac{1}{2} \tan(4x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} ) в точке ( x_0 = \frac{\pi}{4} ) равно ( 4 ).