Помогите с иррациональным уравнением: х+1= под корнем 1-х

Для решения данного уравнения с иррациональным выражением под корнем, необходимо преобразовать его так, чтобы избавиться от корня.

Итак, у нас дано уравнение: x + 1 = √(1 - x).

Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x + 1)^2 = ( √(1 - x) )^2.

Раскроем скобки:

x^2 + 2x + 1 = 1 - x.

Теперь приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть уравнения:

x^2 + 2x + x - 1 = 0.

x^2 + 3x - 1 = 0.

Теперь получившееся уравнение является квадратным уравнением, которое можно решить с помощью дискриминанта и формулы корней:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 41(-1) = 9 + 4 = 13.

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-3 ± √13) / 2.

Таким образом, корни уравнения x^2 + 3x - 1 = 0 равны:

x1 = (-3 + √13) / 2;

x2 = (-3 - √13) / 2.

x^2 + 2x = 1

Для решения иррационального уравнения ( x + 1 = \sqrt{1 - x} ), начнем с определения области допустимых значений переменной ( x ).

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, мы имеем: [ 1 - x \geq 0 ] [ x \leq 1 ]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ (x + 1)^2 = (\sqrt{1 - x})^2 ] [ x^2 + 2x + 1 = 1 - x ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0 ] [ x^2 + 3x = 0 ]

Вынесем ( x ) за скобку: [ x(x + 3) = 0 ]

Это уравнение имеет два корня: [ x = 0 ] [ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 ]

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению, учитывая область допустимых значений ( x \leq 1 ).

1. Подставим ( x = 0 ): [ 0 + 1 = \sqrt{1 - 0} ] [ 1 = 1 ] Корень подходит.

2. Подставим ( x = -3 ): [ -3 + 1 = \sqrt{1 - (-3)} ] [ -2 = \sqrt{4} ] [ -2 \neq 2 ] Корень не подходит, так как корень квадратный всегда неотрицателен.

Итак, единственный корректный корень уравнения — это ( x = 0 ).