Помогите y=4x-x*2 , y=4-x Найти площадь криволинейной трапеции
Помогите y=4x-x*2 , y=4-x Найти площадь криволинейной трапеции
Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми ( y = 4x - x^2 ) и ( y = 4 - x ), необходимо сначала определить точки пересечения этих кривых, а затем вычислить определенный интеграл разности функций на интервале от первой точки пересечения до второй.
Для этого приравниваем функции друг к другу: [ 4x - x^2 = 4 - x. ] Переносим все члены в одну сторону: [ x^2 - 5x + 4 = 0. ] Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}. ] Отсюда получаем два корня: [ x_1 = 4, \quad x_2 = 1. ]
Площадь криволинейной трапеции между кривыми на интервале от ( x = 1 ) до ( x = 4 ) можно найти как интеграл разности этих функций: [ \text{Площадь} = \int{1}^{4} (4 - x - (4x - x^2)) \, dx. ] Упрощаем подынтегральное выражение: [ \int{1}^{4} (4 - x - 4x + x^2) \, dx = \int_{1}^{4} (x^2 - 5x + 4) \, dx. ] Раскладываем на простые интегралы: [ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x \, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int \, dx = x. ] Подставляем пределы интегрирования: [ \left[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x \right]_1^4 = \left(\frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1\right). ] Вычисляем: [ \left(\frac{64}{3} - 40 + 16\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\right) = \frac{64}{3} - 40 + 16 - \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4. ] [ = \frac{63}{3} - 40 + 16 + \frac{5}{2} - 4 = 21 - 40 + 16 + 2.5 - 4. ] [ = 21 - 24.5 + 16 = 12.5. ]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 12.5 квадратных единиц.
Для нахождения площади криволинейной трапеции, необходимо найти точки пересечения двух заданных функций y=4x-x^2 и y=4-x. Далее, используя эти точки и график функций, можно построить трапецию и вычислить ее площадь.
Для нахождения точек пересечения уравнений y=4x-x^2 и y=4-x, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:
4x-x^2 = 4-x -x^2 + 4x = 4-x -x^2 + 4x + x - 4 = 0 -x^2 + 5x - 4 = 0
Далее, решаем квадратное уравнение -x^2 + 5x - 4 = 0 и находим значения x. После этого подставляем найденные значения x обратно в уравнения y=4x-x^2 и y=4-x, чтобы найти соответствующие значения y.
После того как найдены точки пересечения двух функций, можно построить криволинейную трапецию и вычислить ее площадь с помощью формулы для площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2,
где a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.
Таким образом, решив уравнения и нашед точки пересечения, можно найти площадь криволинейной трапеции.
Для нахождения площади криволинейной трапеции нужно найти площадь фигуры, ограниченной двумя заданными функциями.
