Построить график функции y=(x-4)^2 -1 указать область определения, нули функции, промежутки знакопостоянства,...

Функция ( y = (x-4)^2 - 1 ) представляет собой квадратичную функцию, которая является параболой. Давайте разберем её по всем запросам.

1. Область определения функции: Для квадратичной функции область определения всегда является множеством всех действительных чисел. Таким образом, область определения данной функции: ( D = (-\infty, +\infty) ).

2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение ((x-4)^2 - 1 = 0). [ (x-4)^2 = 1 \ x-4 = \pm 1 \ x = 4 \pm 1 \ x = 3 \quad \text{или} \quad x = 5 ] Таким образом, нули функции — это точки ( x = 3 ) и ( x = 5 ).

3. Промежутки знакопостоянства:

   • Функция положительна (y > 0) при ( x < 3 ) и ( x > 5 ), так как в этих интервалах значения функции выше оси x.
   • Функция отрицательна (y < 0) при ( 3 < x < 5 ), так как в этом интервале значения функции ниже оси x.

4. Промежутки возрастания и убывания:

   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, 4] ), так как производная ( 2(x-4) ) отрицательна, когда ( x < 4 ).
   • Функция возрастает на интервале ( [4, +\infty) ), так как производная ( 2(x-4) ) положительна, когда ( x > 4 ).

   Вершина параболы, где функция переходит от убывания к возрастанию, находится в точке ( x = 4 ).

5. Область изменения функции: Минимальное значение функции достигается в вершине параболы, которая находится в точке ( x = 4 ). Подставляя это значение в функцию, получаем: [ y = (4-4)^2 - 1 = -1 ] Так как это парабола, открывающаяся вверх, максимальное значение функции не ограничено. Таким образом, область изменения функции: ( E = [-1, +\infty) ).

6. График функции: График является параболой с вершиной в точке ( (4, -1) ), открытой вверх. Ось симметрии параболы — вертикальная линия ( x = 4 ). Нули функции — точки пересечения графика с осью x, которые находятся в точках ( x = 3 ) и ( x = 5 ).

График можно нарисовать, выбрав несколько значений ( x ) и вычислив соответствующие значения ( y ), а затем соединив полученные точки плавной кривой.

Функция y=(x-4)^2 -1 является квадратичной функцией и имеет график параболы.

1. Область определения функции: любое значение x.

2. Нули функции: (x-4)^2 -1 = 0 (x-4)^2 = 1 x-4 = ±1 x = 4 ± 1 x = 3, x = 5 Нули функции: x=3 и x=5.

3. Промежутки знакопостоянства: Посмотрим на знак выражения (x-4)^2 -1. Когда (x-4)^2 -1 > 0, функция положительна. Когда (x-4)^2 -1 < 0, функция отрицательна. Промежутки знакопостоянства: (-∞,3) и (5,∞) - функция положительна; (3,5) - функция отрицательна.

4. Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на интервале (-∞,4) и убывает на интервале (4,∞).

5. Область изменения функции: Область изменения функции - множество значений функции. Так как (x-4)^2 -1 всегда неотрицательное число, то область изменения функции y=(x-4)^2 -1 - множество неотрицательных чисел: [0, +∞).