Построить график квадратичной функции y=(x-2)(x+4)
Построить график квадратичной функции y=(x-2)(x+4)
Чтобы построить график квадратичной функции ( y = (x-2)(x+4) ), сначала необходимо преобразовать выражение в стандартный вид квадратичной функции, который имеет форму ( y = ax^2 + bx + c ).
Раскроем скобки:
[ y = (x-2)(x+4) = x(x+4) - 2(x+4) ]
[ = x^2 + 4x - 2x - 8 ]
[ = x^2 + 2x - 8 ]
Таким образом, функция имеет вид ( y = x^2 + 2x - 8 ).
Определим основные элементы графика:
Ветви параболы: Коэффициент при ( x^2 ) равен 1, который больше нуля, значит, ветви параболы направлены вверх.
Нахождение вершины параболы: Вершина параболы находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ). Здесь ( a = 1 ), ( b = 2 ).
[ x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 ]
Подставим это значение в уравнение для нахождения ( y )-координаты вершины:
[ y = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 ]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты ((-1, -9)).
Нахождение нулей функции (пересечение с осью ( x )): Это те значения ( x ), при которых ( y = 0 ).
[ (x-2)(x+4) = 0 ]
Отсюда ( x - 2 = 0 ) или ( x + 4 = 0 ), значит, ( x = 2 ) или ( x = -4 ).
Это точки пересечения графика с осью ( x ): ((2, 0)) и ((-4, 0)).
Построение графика:
Теперь имеем достаточную информацию для построения графика:
Дополнительные точки для проверки:
Чтобы уточнить построение, можно вычислить значения функции в нескольких дополнительных точках, например, ( x = 0 ) и ( x = 1 ):
Для ( x = 0 ):
[ y = 0^2 + 2 \times 0 - 8 = -8 ]
Точка ((0, -8)).
Для ( x = 1 ):
[ y = 1^2 + 2 \times 1 - 8 = 1 + 2 - 8 = -5 ]
Точка ((1, -5)).
Теперь график функции должен выглядеть как парабола, проходящая через точки, отмеченные выше, с вершиной в ((-1, -9)), и пересекающая ось ( x ) в точках ((2, 0)) и ((-4, 0)).
Для построения графика квадратичной функции y=(x-2)(x+4) необходимо найти корни уравнения (x-2)(x+4)=0, которые равны x=2 и x=-4. Будет парабола, направленная вверх, проходящая через точки (2,0) и (-4,0).
Для построения графика квадратичной функции y=(x-2)(x+4) необходимо сначала найти ее корни, которые являются точками пересечения графика с осью x. Для этого приравняем функцию к нулю и решим уравнение:
(x-2)(x+4) = 0
x^2 + 2x - 8 = 0
Далее найдем корни уравнения, используя квадратное уравнение:
D = 2^2 - 41(-8) = 36
x1,2 = (-2 ± √36) / 2*1 x1 = -4, x2 = 2
Таким образом, корни функции равны x1 = -4 и x2 = 2.
Теперь найдем вершину параболы, которая является точкой экстремума. Для этого используем формулу вершины параболы x = -b / 2a:
x = -2 / 2*1 = -1
Подставим x = -1 в исходное уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение y:
y = (-1-2)(-1+4) = -3*3 = -9
Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, -9).
Теперь построим график функции y=(x-2)(x+4), учитывая корни и вершину параболы. График будет представлять собой параболу, направленную вверх, проходящую через точки (-4, 0), (2, 0) и (-1, -9).
