Построить график квадратичной функции Y=x²-4x+4

Для построения графика квадратичной функции ( y = x^2 - 4x + 4 ), мы можем начать с анализа её коэффициентов и выделения полного квадрата, а также воспользоваться таблицей значений.

Выделение полного квадрата

Квадратичную функцию ( y = x^2 - 4x + 4 ) можно представить в виде полного квадрата: [ y = (x - 2)^2. ] Это упрощает понимание функции, так как видно, что это парабола с вершиной в точке ( (2, 0) ) и ветвями, направленными вверх.

Вершина параболы

Из формы полного квадрата ( (x - 2)^2 ) видно, что вершина параболы находится в точке ( (2, 0) ). Это значит, что минимальное значение функции ( y = 0 ) достигается при ( x = 2 ).

Направление ветвей параболы

Поскольку коэффициент при ( x^2 ) положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Точки пересечения с осями координат

• Ось Y (x=0): Подставляем ( x = 0 ) в уравнение: [ y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 4 = 4. ] Таким образом, парабола пересекает ось Y в точке ( (0, 4) ).

• Ось X (y=0): Решаем уравнение ( (x - 2)^2 = 0 ): [ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2. ] Таким образом, парабола пересекает ось X в точке ( (2, 0) ).

Построение графика

1. Начертите систему координат.
2. Отметьте вершину параболы ( (2, 0) ).
3. Отметьте точку пересечения с осью Y ( (0, 4) ).
4. Нарисуйте параболу с вершиной в ( (2, 0) ) и ветвями, направленными вверх, проходящую через точку ( (0, 4) ).

Дополнительные точки для точности графика

Можно рассчитать значения функции для нескольких значений ( x ) вокруг вершины, например, для ( x = 1 ) и ( x = 3 ):

• ( y = (1 - 2)^2 = 1 ) (точка ( (1, 1) )),
• ( y = (3 - 2)^2 = 1 ) (точка ( (3, 1) )).

Соединив эти точки, получаем более точный график параболы.

Для построения графика квадратичной функции Y=x²-4x+4 необходимо следовать следующим шагам:

1. Найти вершину параболы. В нашем случае коэффициенты у квадратичного члена, линейного члена и свободного члена равны a=1, b=-4, c=4. Для нахождения вершины используем формулу x = -b/(2a). Подставляем значения в формулу и находим x = -(-4)/(21) = 2. Теперь подставляем найденное значение x=2 в исходное уравнение и находим y = 2² - 42 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0. Получаем, что вершина параболы находится в точке (2,0).

2. Найти дополнительные точки для построения графика. Для этого можно подставить несколько значений x в исходное уравнение и найти соответствующие значения y. Например, при x=0, y=0²-40+4=4, при x=1, y=1²-41+4=1, при x=3, y=3²-43+4=1, при x=4, y=4²-44+4=0.

3. Построить график, используя найденные точки. Проводим ось x и ось y на плоскости. Помечаем точку вершины (2,0) и дополнительные точки (0,4), (1,1), (3,1), (4,0). Соединяем точки гладкой кривой, которая представляет параболу вида Y=x²-4x+4.

Таким образом, график квадратичной функции Y=x²-4x+4 представляет собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (2,0) и проходящую через точки (0,4), (1,1), (3,1) и (4,0).