Построить на комплексной плоскости С векторы, соответствующие комплексным числам z. Найти |z| и arg...

Для построения векторов на комплексной плоскости С, сначала находим действительную и мнимую части числа z.

а) z=-2+3i: Действительная часть Re(z) = -2, мнимая часть Im(z) = 3. Таким образом, вектор на комплексной плоскости будет направлен от начала координат к точке (-2, 3).

|z| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13 arg z = arctan(3 / -2) = arctan(-3/2) ≈ -0.9828 радиан ≈ -56.31 градусов

б) z=6i: Действительная часть Re(z) = 0, мнимая часть Im(z) = 6. Вектор на комплексной плоскости будет направлен вдоль мнимой оси к точке (0, 6).

|z| = |6i| = 6 arg z = arctan(6 / 0) = π/2 радиан ≈ 90 градусов

Тригонометрическая форма комплексного числа z=a+bi представляется как z = |z|(cosθ + i*sinθ), где |z| - модуль числа, аргумент z = arg z = θ.

a) z=2+3i: |z| = √(2^2 + 3^2) = √13 arg z = arctan(3 / 2) ≈ 0.9828 радиан ≈ 56.31 градусов z = √13(cos56.31° + isin56.31°) = √13(cos(56.31°) + i*sin(56.31°))

б) z=-5i: |z| = |-5i| = 5 arg z = arctan(-5 / 0) = -π/2 радиан ≈ -90 градусов z = 5(cos(-90°) + isin(-90°)) = 5(cos(-90°) + isin(-90°))

Для того чтобы построить на комплексной плоскости векторы, соответствующие комплексным числам ( z ), а также найти их модуль ( |z| ) и аргумент ( \arg z ), выполним следующие шаги для каждого числа.

Часть 1: Построение векторов, нахождение модуля и аргумента

а) ( z = -2 + 3i )

1. Построение на комплексной плоскости:

   • Вектор начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в точке (-2, 3).

2. Модуль ( |z| ): [ |z| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]

3. Аргумент ( \arg z ): Аргумент ( z ) — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором ( z ). [ \arg z = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-2}\right) ] Поскольку вектор находится во второй четверти, добавляем ( \pi ): [ \arg z = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{3}{-2}\right) ]

б) ( z = 6i )

1. Построение на комплексной плоскости:

   • Вектор начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в точке (0, 6).

2. Модуль ( |z| ): [ |z| = |6i| = 6 ]

3. Аргумент ( \arg z ): Поскольку вектор находится на мнимой оси в положительном направлении: [ \arg z = \frac{\pi}{2} ]

Часть 2: Представление в тригонометрической и показательной формах

а) ( z = 2 + 3i )

1. Модуль ( |z| ): [ |z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]

2. Аргумент ( \arg z ): [ \arg z = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right) ]

3. Тригонометрическая форма: [ z = |z| \left( \cos(\arg z) + i \sin(\arg z) \right) = \sqrt{13} \left( \cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)\right) + i \sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)\right) \right) ]

4. Показательная форма: [ z = |z| e^{i \arg z} = \sqrt{13} e^{i \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)} ]

б) ( z = -5i )

1. Модуль ( |z| ): [ |z| = |-5i| = 5 ]

2. Аргумент ( \arg z ): Поскольку вектор находится на мнимой оси в отрицательном направлении: [ \arg z = -\frac{\pi}{2} ]

3. Тригонометрическая форма: [ z = |z| \left( \cos(\arg z) + i \sin(\arg z) \right) = 5 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) ] Поскольку (\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0) и (\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1): [ z = 5 \left( 0 - i \right) = -5i ]

4. Показательная форма: [ z = |z| e^{i \arg z} = 5 e^{-i \frac{\pi}{2}} ]

Таким образом, мы успешно построили векторы на комплексной плоскости, нашли модуль и аргумент для каждого комплексного числа, и представили их в тригонометрической и показательной формах.