Постройте график функции а)y=log1/3 (x-3) б)y=log3 x^5

Чтобы построить графики данных функций, начнем с их анализа и определения ключевых особенностей.

а) ( y = \log_{1/3}(x - 3) )

Шаг 1: Понимание функции

Функция ( y = \log_{1/3}(x - 3) ) представляет собой логарифмическую функцию с основанием ( \frac{1}{3} ) и аргументом ( x - 3 ).

Шаг 2: Область определения

Для логарифмической функции аргумент должен быть положительным: [ x - 3 > 0 ] [ x > 3 ] Следовательно, область определения функции — это ( x > 3 ).

Шаг 3: Ассимптоты

Логарифмическая функция имеет вертикальную асимптоту при ( x \to 3 ), так как ( \log_{1/3}(0) ) не определен.

Шаг 4: Характеристики логарифма с основанием ( \frac{1}{3} )

Логарифмы с основанием меньше 1 уменьшаются при увеличении аргумента. То есть, функция ( y = \log_{1/3}(x - 3) ) будет убывающей.

Шаг 5: Построение графика

1. Для ( x = 4 ): [ y = \log{1/3}(4 - 3) = \log{1/3}(1) = 0 ]
2. Для ( x = 6 ): [ y = \log{1/3}(6 - 3) = \log{1/3}(3) = -1 ]
3. Для ( x = 9 ): [ y = \log{1/3}(9 - 3) = \log{1/3}(6) \approx -1.63 ]

На основе этих точек можно построить график, который будет убывать и иметь вертикальную асимптоту при ( x = 3 ).

б) ( y = \log_{3}(x^5) )

Шаг 1: Понимание функции

Функция ( y = \log{3}(x^5) ) может быть преобразована с использованием свойства логарифмов: [ y = 5 \log{3}(x) ]

Шаг 2: Область определения

Для логарифмической функции аргумент должен быть положительным: [ x > 0 ] Следовательно, область определения функции — это ( x > 0 ).

Шаг 3: Характеристики функции

Функция ( y = 5 \log{3}(x) ) будет увеличиваться быстрее, чем ( y = \log{3}(x) ), так как коэффициент 5 увеличивает крутизну графика.

Шаг 4: Построение графика

1. Для ( x = 1 ): [ y = 5 \log_{3}(1) = 5 \cdot 0 = 0 ]
2. Для ( x = 3 ): [ y = 5 \log_{3}(3) = 5 \cdot 1 = 5 ]
3. Для ( x = 9 ): [ y = 5 \log_{3}(9) = 5 \cdot 2 = 10 ]

На основе этих точек можно построить график, который будет увеличиваться быстрее, чем базовая логарифмическая функция ( \log_{3}(x) ).

Заключение

График функции ( y = \log{1/3}(x - 3) ) будет убывающим с вертикальной асимптотой при ( x = 3 ). График функции ( y = \log{3}(x^5) ) будет возрастающим и более крутым по сравнению с ( y = \log_{3}(x) ).

а) График функции y = log1/3 (x-3) имеет следующий вид: начальная точка графика находится в точке (3,0), где ось абсцисс пересекается с логарифмической функцией. График функции стремится к оси абсцисс слева и к оси ординат справа, не пересекая их никогда. Также график функции симметричен относительно прямой x = 3.

б) График функции y = log3 x^5 имеет следующий вид: начальная точка графика находится в точке (1,0), где ось абсцисс пересекается с логарифмической функцией. График функции стремится к бесконечности при увеличении x и стремится к минус бесконечности при уменьшении x. График функции также симметричен относительно прямой x = 1.