Постройте график функции g(x)=x^2+4x+2 найдите по графику свойства функции

Для построения графика функции ( g(x) = x^2 + 4x + 2 ) начнем с анализа ее свойств. Это квадратичная функция, и ее график представляет собой параболу. Чтобы построить график и определить свойства функции, выполним следующие шаги:

1. Определение вершины параболы:

   Квадратичная функция ( g(x) = ax^2 + bx + c ) имеет вершину в точке с абсциссой ( x_v = -\frac{b}{2a} ).

   В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = 2 ). Следовательно,

   [ x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2. ]

   Чтобы найти ординату вершины, подставим ( x_v ) в функцию:

   [ g(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2. ]

   Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (-2, -2) ).

2. Определение направления ветвей:

   Так как коэффициент ( a = 1 ) положителен, ветви параболы направлены вверх.

3. Определение пересечения с осью ( y ):

   Для нахождения точки пересечения с осью ( y ), подставим ( x = 0 ):

   [ g(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 2 = 2. ]

   Точка пересечения с осью ( y ) — ( (0, 2) ).

4. Определение пересечения с осью ( x ):

   Для этого решим уравнение ( x^2 + 4x + 2 = 0 ) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. ]

   Подставим значения:

   [ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2}. ]

   Упростим выражение:

   [ x_1 = -2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{2}. ]

   Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) — ( (-2 + \sqrt{2}, 0) ) и ( (-2 - \sqrt{2}, 0) ).

5. Построение графика:

   Теперь у нас есть ключевые точки: вершина ( (-2, -2) ), точка пересечения с осью ( y ) ( (0, 2) ), и точки пересечения с осью ( x ) ( (-2 + \sqrt{2}, 0) ) и ( (-2 - \sqrt{2}, 0) ). Используя эти точки, можно построить параболу.

6. Свойства функции:

   • Область определения: (\mathbb{R}) (все действительные числа).
   • Область значений: ([-2, +\infty)), так как вершина является минимальной точкой.
   • Промежутки возрастания и убывания:
     • Функция убывает на интервале ( (-\infty, -2) ).
     • Функция возрастает на интервале ( (-2, +\infty) ).
   • Вершина функции: точка минимума ( (-2, -2) ).
   • Симметрия: график симметричен относительно вертикальной прямой ( x = -2 ) (ось симметрии).

Эти шаги и свойства дают полное представление о графике функции ( g(x) = x^2 + 4x + 2 ).

Для построения графика функции g(x)=x^2+4x+2 необходимо следовать следующим шагам:

1. Выразить функцию в виде вершины параболы: g(x)=(x+2)^2-2.
2. Найти вершину параболы, которая является минимумом функции: вершина находится в точке (-2, -2).
3. Определить направление открытия параболы: в данном случае парабола открывается вверх.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат: ось ординат пересекается в точке (0, 2), а ось абсцисс не пересекается.
5. Определить, что график функции увеличивается на всем промежутке (-бесконечность, -2) и убывает на промежутке (-2, +бесконечность).
6. Также функция является параболой, а значит, является гладкой и непрерывной на всей области определения.

Таким образом, функция g(x)=x^2+4x+2 имеет вершину параболы в точке (-2, -2), открывается вверх, увеличивается на интервале (-бесконечность, -2) и убывает на интервале (-2, +бесконечность).