Постройте график функции у= - 1/3х²+2х.Найдите наибольшее значение этой функции.Помогите пожалуйста...

Для построения графика функции у= - 1/3x²+2x необходимо следовать нескольким шагам:

1. Выразим функцию в стандартной форме у= ax² + bx + c. В данном случае у= - 1/3x² + 2x эквивалентно у= -1/3x² + 2x + 0.

2. Найдем вершину параболы. В данном случае вершина параболы находится в точке, где x= -b/2a. Значит, x= -2/(2(-1/3))= 3. Подставим x=3 обратно в у= - 1/3x²+2x: у= -1/3(3)² + 2*(3) = -3 + 6 = 3. Таким образом, вершина параболы находится в точке (3,3).

3. Теперь построим график функции у= - 1/3x²+2x. Так как коэффициент при x² отрицательный, парабола будет направлена вниз. Построим график, проходящий через вершину (3,3) и имеющий симметричные относительно вертикальной оси.

4. Найдем наибольшее значение функции. Так как вершина параболы находится в точке (3,3), наибольшее значение функции будет равно 3.

Надеюсь, что эта информация поможет вам построить график функции и найти наибольшее значение. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь их задавать!

Конечно, давайте разберемся с этим заданием пошагово.

1. Построение графика функции ( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x )

Функция ( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x ) является квадратичной функцией, и её график представляет собой параболу. В данном случае, коэффициент при ( x^2 ) отрицательный (( -\frac{1}{3} )), поэтому ветви параболы направлены вниз.

1.1. Найдём вершину параболы

Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ).

Для нашей функции:

• ( a = -\frac{1}{3} )
• ( b = 2 )
• ( c = 0 ) (но это не влияет на координаты вершины)

Подставляем значения: [ x = -\frac{2}{2 \cdot -\frac{1}{3}} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3 ]

Теперь найдём значение функции в точке ( x = 3 ): [ y = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2 \cdot 3 ] [ y = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 ] [ y = -3 + 6 ] [ y = 3 ]

Итак, вершина параболы находится в точке ( (3, 3) ).

1.2. Найдём точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ( y ) (когда ( x = 0 )): [ y = -\frac{1}{3}(0)^2 + 2 \cdot 0 = 0 ] То есть, точка пересечения с осью ( y ) — это ( (0, 0) ).

Пересечение с осью ( x ) (когда ( y = 0 )): [ -\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0 ] Решим это уравнение: [ x(-\frac{1}{3}x + 2) = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{3}x + 2 = 0 ] Из второго уравнения: [ -\frac{1}{3}x + 2 = 0 ] [ -\frac{1}{3}x = -2 ] [ x = 6 ]

Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) — это ( (0, 0) ) и ( (6, 0) ).

2. Наибольшее значение функции

Мы уже нашли, что вершина параболы находится в точке ( (3, 3) ). Поскольку ветви параболы направлены вниз, эта точка ( (3, 3) ) является точкой максимума.

Следовательно, наибольшее значение функции ( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x ) равно 3 и достигается при ( x = 3 ).

Резюме:

1. График функции ( y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x ) — это парабола, направленная ветвями вниз.
2. Вершина параболы находится в точке ( (3, 3) ).
3. Точки пересечения с осями координат: ( (0, 0) ) и ( (6, 0) ).
4. Наибольшее значение функции равно 3 и достигается при ( x = 3 ).

Надеюсь, это поможет вам понять, как строить график и находить наибольшее значение квадратичной функции!