Постройте график функции у=1/4х^2-2х+1. Какова её область значений?

Для построения графика функции ( y = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 1 ) необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определение типа функции

Данная функция — это квадратичная функция, которая представляет собой параболу. Коэффициент при ( x^2 ) равен (\frac{1}{4}), что положительно, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы

Формула для нахождения вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) такова: [ x_v = -\frac{b}{2a} ] Подставим значения ( a = \frac{1}{4} ) и ( b = -2 ): [ x_v = -\frac{-2}{2 \times \frac{1}{4}} = -\frac{-2}{\frac{1}{2}} = 4 ]

Теперь найдём ( y )-координату вершины, подставив ( x = 4 ) в уравнение функции: [ y_v = \frac{1}{4}(4)^2 - 2(4) + 1 = \frac{1}{4}(16) - 8 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 ]

Таким образом, вершина параболы — точка ( (4, -3) ).

3. Построение графика

1. Вершина: как уже найдено, вершина параболы находится в точке ( (4, -3) ).
2. Ось симметрии: вертикальная прямая ( x = 4 ).

3. Дополнительные точки: выберем несколько значений ( x ) и найдём соответствующие ( y ), например, ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

   • Для ( x = 0 ): [ y = \frac{1}{4}(0)^2 - 2(0) + 1 = 1 ] Точка: ( (0, 1) )

   • Для ( x = 2 ): [ y = \frac{1}{4}(2)^2 - 2(2) + 1 = \frac{1}{4}(4) - 4 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 ] Точка: ( (2, -2) )

   • Для ( x = 6 ) (симметричная точка относительно оси симметрии): [ y = \frac{1}{4}(6)^2 - 2(6) + 1 = \frac{1}{4}(36) - 12 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2 ] Точка: ( (6, -2) )

4. Область значений

Поскольку ветви параболы направлены вверх и вершина является точкой минимума, область значений функции — это все числа ( y ), начиная с минимального значения вершины и выше: [ y \geq -3 ]

Вывод

График функции ( y = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 1 ) — это парабола с вершиной в точке ( (4, -3) ), осью симметрии ( x = 4 ), и областью значений ( y \geq -3 ). Для построения графика достаточно отметить вершину, несколько дополнительных точек и изобразить параболу, направленную вверх.

Для построения графика функции у=1/4х^2-2х+1 необходимо следовать следующим шагам:

1. Найти вершину параболы. Для этого используем формулу x = -b/2a, где a = 1/4, b = -2. Подставляем значения и находим x: x = -(-2)/(2*1/4) = 4. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (4, -3).

2. Найти точки пересечения с осями координат. Для этого решаем уравнение у = 0 и находим корни: 1/4х^2-2х+1 = 0. Решив квадратное уравнение, получаем х1 ≈ 0.1716 и х2 ≈ 7.8284. Таким образом, точки пересечения с осью x равны (0.1716, 0) и (7.8284, 0).

3. Построить график, используя полученные точки и вершину параболы.

Область значений функции у=1/4х^2-2х+1 - это множество всех возможных значений функции. Так как данная функция является квадратичной, то её область значений будет вся числовая прямая, т.е. (-бесконечность, +бесконечность).