Постройте график функции y=(0,25x^2+x)x /x+4
Постройте график функции y=(0,25x^2+x)x /x+4
Для построения графика функции y=(0.25x^2+x)x /x+4 необходимо выполнить следующие шаги:
Для построения графика данной функции сначала необходимо определить область определения. Заметим, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому x+4 ≠ 0 => x ≠ -4. Следовательно, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме -4.
Теперь найдем точки пересечения с осями координат. Для этого вычислим значение функции при x = 0 и при y = 0.
При x = 0 получаем y = (0,250^2+0)0 /0+4 = 0, следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке (0,0).
Аналогично, при y = 0 получаем уравнение (0,25x^2+x)x /x+4 = 0, откуда получаем два корня: x = 0 и x = -1.
Теперь найдем точку экстремума функции. Для этого вычислим производную функции y' = (x^2 + 1 - x^2) / (x + 4)^2 = 1 / (x + 4)^2. Равенство нулю производной y' = 0 не имеет решений в области определения функции, следовательно, функция не имеет точки экстремума.
Таким образом, график функции y=(0,25x^2+x)x /x+4 проходит через начало координат (0,0) и имеет особенность в точке x = -4, где область определения функции заканчивается.
Для построения графика функции ( y = \frac{(0.25x^2 + x)x}{x + 4} ), необходимо выполнить несколько шагов:
Упростить выражение: Упростим данное выражение: [ y = \frac{(0.25x^2 + x)x}{x + 4} = \frac{0.25x^3 + x^2}{x + 4} ]
Найти область определения: Область определения функции – это все значения ( x ), при которых знаменатель не равен нулю: [ x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4 ] Таким образом, область определения: ( x \in \mathbb{R} \setminus {-4} ).
Найти асимптоты:
Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель равен нулю и числитель не равен нулю в этой точке. В данном случае при ( x = -4 ): [ \frac{0.25(-4)^3 + (-4)^2}{-4 + 4} = \frac{-16 + 16}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{(неопределенность)} ] Это говорит о необходимости анализа предела функции при ( x \to -4 ).
Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты проанализируем поведение функции при ( x \to \pm\infty ): [ y = \frac{0.25x^3 + x^2}{x + 4} ] Если ( x ) стремится к бесконечности, доминирующим членом числителя будет ( 0.25x^3 ), а знаменателя – ( x ). Поэтому: [ y \approx \frac{0.25x^3}{x} = 0.25x^2 ] Следовательно, при ( x \to \pm\infty ) функция не имеет горизонтальной асимптоты, так как она стремится к параболической функции ( 0.25x^2 ).
Найти точки пересечения с осями:
Точка пересечения с осью ( y ): Для нахождения точки пересечения с осью ( y ) подставим ( x = 0 ): [ y = \frac{0.25 \cdot 0^3 + 0^2}{0 + 4} = \frac{0}{4} = 0 ] Таким образом, график пересекает ось ( y ) в точке (0, 0).
Точки пересечения с осью ( x ): Для нахождения точек пересечения с осью ( x ) приравняем числитель к нулю: [ 0.25x^3 + x^2 = 0 \implies x^2(0.25x + 1) = 0 ] Решаем уравнение: [ x^2 = 0 \implies x = 0 ] [ 0.25x + 1 = 0 \implies x = -4 ] Однако ( x = -4 ) исключено из области определения. Таким образом, единственная точка пересечения с осью ( x ) – это (0, 0).
Анализ поведения функции около вертикальной асимптоты: Рассмотрим поведение функции при ( x \to -4 ). Подставим значения, близкие к -4, с обеих сторон: [ y \approx \frac{0.25(-4 + \epsilon)^3 + (-4 + \epsilon)^2}{-4 + \epsilon + 4} ] Здесь необходимо численно проанализировать пределы, например, для ( \epsilon \to 0^+ ) и ( \epsilon \to 0^- ).
Построение графика: На основании всех вышеприведенных шагов можно построить график функции. График будет пересекать оси координат в точке (0, 0) и иметь вертикальную асимптоту в точке ( x = -4 ). На бесконечности функция будет приближаться к параболе ( 0.25x^2 ).
Используя все эти данные, можно построить график функции ( y = \frac{(0.25x^2 + x)x}{x + 4} ). Для точного построения рекомендуется использовать графический калькулятор или специализированные программные средства, такие как WolframAlpha, Desmos или другие.
Надеюсь, это поможет вам в построении графика данной функции!
