Постройте график функции y=(1-x)(x+5) Определите по графику функции возрастание и убывание. Заранее...

Построить график функции ( y = (1 - x)(x + 5) ) можно, предварительно преобразовав её в удобную форму, а затем определив ключевые характеристики: нули функции, вершину параболы и интервалы возрастания и убывания.

1. Раскрытие скобок и приведение к стандартной форме:

   Начнем с раскрытия скобок: [ y = (1 - x)(x + 5) ] Используем распределительное свойство: [ y = 1 \cdot x + 1 \cdot 5 - x \cdot x - x \cdot 5 ] [ y = x + 5 - x^2 - 5x ] Объединим подобные члены: [ y = -x^2 - 4x + 5 ] Теперь функция имеет вид ( y = -x^2 - 4x + 5 ), что является стандартной формой квадратичной функции.

2. Нули функции:

   Для нахождения нулей функции (то есть точек, где ( y = 0 )), решим уравнение: [ -x^2 - 4x + 5 = 0 ] Применим квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = -1 ), ( b = -4 ), ( c = 5 ): [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-2} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{-2} ] [ x = \frac{4 \pm 6}{-2} ] Решаем для двух случаев: [ x_1 = \frac{4 + 6}{-2} = -5 ] [ x_2 = \frac{4 - 6}{-2} = 1 ] Следовательно, нули функции находятся в точках ( x = -5 ) и ( x = 1 ).

3. Вершина параболы:

   Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке: [ x = -\frac{b}{2a} ] Подставим ( a = -1 ) и ( b = -4 ): [ x = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = 2 ] Подставим ( x = -2 ) в уравнение функции для нахождения ( y ): [ y = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 ] [ y = -4 + 8 + 5 ] [ y = 9 ] Следовательно, вершина параболы находится в точке ( (-2, 9) ).

4. Интервалы возрастания и убывания:

   Поскольку коэффициент при ( x^2 ) отрицательный (( a = -1 )), парабола направлена вниз. Это означает, что функция сначала возрастает до вершины, а затем убывает.

   • Функция возрастает на интервале ( (-\infty, -2) ).
   • Функция убывает на интервале ( (-2, \infty) ).

5. Построение графика:

   На основе полученных данных можно построить график:

   • Нули функции: точки ( (-5, 0) ) и ( (1, 0) ).
   • Вершина параболы: точка ( (-2, 9) ).
   • Функция возрастает на интервале ( (-\infty, -2) ).
   • Функция убывает на интервале ( (-2, \infty) ).

   Это позволяет нарисовать параболу, проходящую через точки ( (-5, 0) ) и ( (1, 0) ) с вершиной в точке ( (-2, 9) ), направленную вниз.

Надеюсь, это поможет вам построить график функции и определить ее интервалы возрастания и убывания.

Для построения графика функции y=(1-x)(x+5) нужно сначала найти корни уравнения (1-x)(x+5)=0. Решив это уравнение, мы получим x=1 и x=-5.

Теперь определим поведение функции на интервалах между корнями и за пределами корней.

1. При x