Постройте график функции y=2|x-4|-x^2+9x-20 и определите,при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком...

Для начала построим график функции y=2|x-4|-x^2+9x-20. Это можно сделать, используя графические инструменты или программы для построения графиков.

Далее, чтобы определить, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком три общие точки, нужно рассмотреть уравнение системы уравнений y=2|x-4|-x^2+9x-20 и y=m.

Приравниваем два уравнения: 2|x-4|-x^2+9x-20=m

После этого нужно найти общие корни уравнения, то есть значения x, при которых уравнения пересекаются. Если количество корней равно трем, то это значит, что прямая y=m имеет три общие точки с графиком функции y=2|x-4|-x^2+9x-20 при соответствующем значении m.

Таким образом, решив систему уравнений, можно найти значения m, при которых прямая имеет три общие точки с графиком функции.

Для решения данной задачи начнем с построения графика функции ( y = 2|x-4| - x^2 + 9x - 20 ). Рассмотрим функцию в двух случаях, в зависимости от значения выражения ( |x-4| ), которое определяется положением ( x ) относительно числа 4.

1. Когда ( x \geq 4 ): [ |x-4| = x - 4 ] Тогда: [ y = 2(x-4) - x^2 + 9x - 20 = 2x - 8 - x^2 + 9x - 20 = -x^2 + 11x - 28 ]

   Это парабола ветвями вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный.

2. Когда ( x < 4 ): [ |x-4| = -(x - 4) = -x + 4 ] Тогда: [ y = 2(-x+4) - x^2 + 9x - 20 = -2x + 8 - x^2 + 9x - 20 = -x^2 + 7x - 12 ]

   Это также парабола ветвями вниз.

Теперь исследуем, как меняются эти функции на границе, т.е. при ( x = 4 ):

• Для первой функции при ( x = 4 ): ( y = -4^2 + 11 \cdot 4 - 28 = -16 + 44 - 28 = 0 ).
• Для второй функции при ( x = 4 ): ( y = -4^2 + 7 \cdot 4 - 12 = -16 + 28 - 12 = 0 ).

Обе функции в точке ( x = 4 ) принимают значение 0.

Теперь исследуем, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) будет пересекать график в трех точках. Это будет происходить, когда ( m ) находится между минимальным и максимальным значениями функций на интервалах, но не равно этим значениям.

Для определения максимумов и минимумов каждой из функций можно воспользоваться производной или рассмотреть вершины парабол:

• Парабола ( y = -x^2 + 11x - 28 ): вершина находится в точке ( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-11}{-2} = 5.5 ).
• Парабола ( y = -x^2 + 7x - 12 ): вершина находится в точке ( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-7}{-2} = 3.5 ).

Вычислим значения функций в этих точках и около точки разрыва ( x = 4 ). Затем анализируем, при каких ( m ) пересечения с графиком будут в трех точках, используя результаты анализа и графическое представление.