Постройте график функции y=2x(в квадрате)+8х+2 и найдите, используя график функции и найдите, используя...

Для построения графика функции y=2x^2+8x+2 сначала найдем ее нули, то есть значения х, при которых y=0: 2x^2+8x+2=0 Выразим x с помощью квадратного уравнения: D=8^2-422=64-16=48 x=(-8±√48)/(2*2)=(-8±4√3)/4=-2±√3 Таким образом, нули функции y=2x^2+8x+2 равны x=-2+√3 и x=-2-√3.

Теперь определим промежутки знакопостоянства функции. Для этого выясним, при каких значениях x функция положительна, а при каких отрицательна.

Для x

а) Не нужно б) Не нужно в) Нули функции: x = -1, -4; Промежутки знакопостоянства: (-∞, -4) и (-1, +∞) г) Промежутки возрастания: (-∞, -1); Промежутки убывания: (-1, +∞); Наименьшее значение функции: -3

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, сначала построим график функции ( y = 2x^2 + 8x + 2 ). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Построение графика функции

1. Вершина параболы: Формула для нахождения вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) имеет вид: [ x_v = -\frac{b}{2a} ] В нашем случае ( a = 2 ), ( b = 8 ), ( c = 2 ). Подставим значения: [ x_v = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2 ] Подставим ( x_v ) в уравнение, чтобы найти ( y_v ): [ y_v = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6 ] Значит, вершина параболы находится в точке ( (-2, -6) ).

2. Ось симметрии: Ось симметрии параболы проходит через вершину и имеет уравнение ( x = -2 ).

3. Нули функции (корни квадратного уравнения): Для нахождения нулей функции решим уравнение ( 2x^2 + 8x + 2 = 0 ) с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 64 - 16 = 48 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{4} = -2 \pm \sqrt{3} ] Таким образом, нули функции: [ x_1 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{3} ]

Ответы на вопросы

в) Нули функции и промежутки знакопостоянства

1. Нули функции: [ x_1 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -2 - \sqrt{3} ] Таким образом, функция пересекает ось ( x ) в точках ( (-2 + \sqrt{3}, 0) ) и ( (-2 - \sqrt{3}, 0) ).

2. Промежутки знакопостоянства:

   • Функция положительна на промежутках ( (-\infty, -2 - \sqrt{3}) ) и ( (-2 + \sqrt{3}, \infty) ).
   • Функция отрицательна на промежутке ( (-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}) ).

г) Промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции

1. Промежутки возрастания и убывания:

   • Функция возрастает на промежутке ( x > -2 ) (правая ветвь параболы).
   • Функция убывает на промежутке ( x < -2 ) (левая ветвь параболы).

2. Наименьшее значение функции: Поскольку вершина параболы находится в точке ( (-2, -6) ) и коэффициент при ( x^2 ) положителен (то есть парабола направлена вверх), наименьшее значение функции равно ( -6 ) и достигается при ( x = -2 ).

Таким образом, мы ответили на все требуемые вопросы по функциям.