Постройте график функции y=4/x-1.Укажите промежутки убывания функции

Для построения графика функции ( y = \frac{4}{x} - 1 ) и определения промежутков её убывания, следуем следующим шагам:

1. Анализ функции:

Функция ( y = \frac{4}{x} - 1 ) представляет собой рациональную функцию, которая является преобразованием гиперболы ( y = \frac{4}{x} ).

2. Нахождение асимптот:

• Вертикальная асимптота: возникает, когда знаменатель равен нулю. В данном случае, знаменатель 0, когда ( x = 0 ). Следовательно, вертикальная асимптота: ( x = 0 ).

• Горизонтальная асимптота: для определения горизонтальной асимптоты смотрим на предел функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ): [ \lim{x \to \infty} \left( \frac{4}{x} - 1 \right) = -1, ] [ \lim{x \to -\infty} \left( \frac{4}{x} - 1 \right) = -1. ] Таким образом, горизонтальная асимптота: ( y = -1 ).

3. Построение графика:

Для построения графика, рассмотрим значения функции на интервалах ( x > 0 ) и ( x < 0 ).

• При ( x > 0 ): [ y = \frac{4}{x} - 1. ] Когда ( x ) увеличивается, ( \frac{4}{x} ) уменьшается и стремится к 0, поэтому ( y ) стремится к -1.

• При ( x < 0 ): [ y = \frac{4}{x} - 1. ] Когда ( x ) уменьшается (по модулю увеличивается), ( \frac{4}{x} ) также стремится к 0, и ( y ) стремится к -1.

Для наглядности можно вычислить несколько точек:

• Для ( x = 1 ): [ y = \frac{4}{1} - 1 = 3. ]

• Для ( x = 2 ): [ y = \frac{4}{2} - 1 = 1. ]

• Для ( x = -1 ): [ y = \frac{4}{-1} - 1 = -5. ]

• Для ( x = -2 ): [ y = \frac{4}{-2} - 1 = -3. ]

4. Промежутки убывания:

Рассмотрим производную функции для определения промежутков убывания:

Функция ( y = \frac{4}{x} - 1 ) имеет производную: [ y' = -\frac{4}{x^2}. ]

Производная отрицательна на всём множестве определения функции (( x \neq 0 )), что означает, что функция убывает на всём этом множестве.

Итак, промежутки убывания функции:

Функция ( y = \frac{4}{x} - 1 ) убывает на интервалах ( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) ).

5. Итоговое построение графика:

1. Нарисуйте вертикальную асимптоту ( x = 0 ).
2. Нарисуйте горизонтальную асимптоту ( y = -1 ).
3. Добавьте несколько точек, например, ( (1, 3) ), ( (2, 1) ), ( (-1, -5) ), ( (-2, -3) ).
4. Соедините точки плавной кривой, подходящей к асимптотам, чтобы получить полное представление о графике.

Таким образом, у нас получился график функции ( y = \frac{4}{x} - 1 ) с обозначенными асимптотами и промежутками убывания.

Для построения графика функции y=4/x-1 необходимо определить ее основные характеристики. Это уравнение представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты x=0 и y=0.

Сначала построим график функции без учета промежутков убывания. Для этого выберем несколько значений для x и найдем соответствующие значения для y. Например, при x=1 получаем y=4/1-1=3, при x=2 получаем y=4/2-1=1 и т.д. Таким образом, можем построить график функции.

Чтобы определить промежутки убывания функции, необходимо проанализировать ее производную. Найдем производную функции y=4/x-1. Для этого преобразуем уравнение: y=4x^(-1)-1. Теперь найдем производную: y'=-4x^(-2)= -4/x^2.

Производная отрицательна на всей числовой прямой, за исключением точки x=0, где функция не определена. Это означает, что функция убывает на всем множестве действительных чисел, за исключением точки x=0. Таким образом, промежутки убывания функции y=4/x-1 - это все вещественные числа, кроме x=0.

График функции y=4/x-1 - это гипербола, которая имеет промежутки убывания на интервалах (-бесконечность, 0) и (0, +бесконечность).