Постройте график функции y=(х-1)(х^2-5х+6)/х-3 и определите,при каких значениях m прямая y=m имеет с...

Для построения графика функции y=(x-1)(x^2-5x+6)/(x-3) сначала найдем ее область определения. Функция не определена при x=3, так как знаменатель становится равным нулю.

Теперь найдем асимптоты функции. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители: числитель: (x-1)(x-3)(x-2) знаменатель: (x-3) Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота x=3.

Теперь определим поведение функции на интервалах между корнями многочлена в числителе (x-1)(x-3)(x-2). Уравнение y=m имеет с графиком функции одну общую точку, если существует решение уравнения f(x) = m, где f(x) - функция (x-1)(x^2-5x+6)/(x-3).

Проанализируем поведение функции на интервалах:

1. При x < 1 функция положительна.
2. При 1 < x < 2 функция отрицательна.
3. При 2 < x < 3 функция положительна.
4. При x > 3 функция положительна.

Таким образом, прямая y=m имеет с графиком функции одну общую точку, если m лежит в интервале (-∞,0) или (2,∞).

Для того чтобы построить график функции ( y = \frac{(x-1)(x^2-5x+6)}{x-3} ) и определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно одну общую точку, проделаем следующие шаги:

1. Упрощение числителя:

   • Раскроем скобки числителя: ( (x-1)(x^2-5x+6) ).
   • Найдем корни квадратного многочлена ( x^2 - 5x + 6 ) методом разложения на множители: ( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) ).
   • Получаем: ( (x-1)(x-2)(x-3) ).

2. Упрощение дроби:

   • Подставим числитель в функцию: ( y = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-3} ).
   • Сократим ( (x-3) ) в числителе и знаменателе (при условии, что ( x \neq 3 )): ( y = (x-1)(x-2) ).

3. Анализ упрощенной функции:

   • Получаем функцию ( y = (x-1)(x-2) ) при ( x \neq 3 ).
   • Это парабола, ветви которой направлены вверх, с нулями в точках ( x = 1 ) и ( x = 2 ).

4. Особая точка:

   • В исходной функции ( x = 3 ) является точкой разрыва, так как в знаменателе исходной дроби получается 0.

5. Определение точек пересечения с прямой ( y = m ):

   • Прямая ( y = m ) пересекает параболу ( y = (x-1)(x-2) ), то есть решаем уравнение ( (x-1)(x-2) = m ).
   • Это приводит к квадратному уравнению: ( x^2 - 3x + (2-m) = 0 ).

6. Условие на количество решений:

   • Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком, дискриминант этого уравнения должен равняться нулю.
   • Дискриминант: ( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2-m) = 9 - 8 + 4m = 1 + 4m ).
   • Условие: ( 1 + 4m = 0 ).
   • Решаем: ( 4m = -1 \Rightarrow m = -\frac{1}{4} ).

7. Вывод:

   • Прямая ( y = m ) имеет с графиком функции ровно одну общую точку, если ( m = -\frac{1}{4} ).

В итоге, для построения графика функции, необходимо учесть разрыв в точке ( x = 3 ) и выколоть эту точку на графике, а также учитывать, что при ( m = -\frac{1}{4} ) прямая ( y = m ) будет касательной к параболе.