Постройте график функции y=x^2-2x-8 и найдите, используя графика) значение функции при х=2,5 ; 1,5 ;...

Для начала построим график функции ( y = x^2 - 2x - 8 ). Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при ( x^2 ) положителен.

Координаты вершины параболы

Формула вершины параболы для функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) имеет вид: [ x = -\frac{b}{2a} ] Для нашей функции ( a = 1 ), ( b = -2 ), тогда: [ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ] Подставляем ( x = 1 ) в уравнение параболы, чтобы найти ( y ): [ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, -9) ).

Поиск нулей функции

Найдем нули функции, решив уравнение ( x^2 - 2x - 8 = 0 ). Это квадратное уравнение, решаем его через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} = 4, -2 ] Нули функции: ( x_1 = 4 ), ( x_2 = -2 ).

Построение графика

График пересекает ось ( x ) в точках ( x = -2 ) и ( x = 4 ), имеет вершину в точке ( (1, -9) ), и ветви параболы направлены вверх.

Ответы на вопросы

а) Значение функции при ( x = 2.5 ); ( 1.5 ); ( 3 ):

• ( y(2.5) = 2.5^2 - 2 \cdot 2.5 - 8 = 6.25 - 5 - 8 = -6.75 )
• ( y(1.5) = 1.5^2 - 2 \cdot 1.5 - 8 = 2.25 - 3 - 8 = -8.75 )
• ( y(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5 )

б) Значения ( x ) при которых ( y = 7 ); ( -3 ):

• ( y = 7: x^2 - 2x - 8 = 7 \Rightarrow x^2 - 2x - 15 = 0 ) Решаем: ( D = 64 ), ( x = 5 ) или ( x = -3 ).
• ( y = -3: x^2 - 2x - 8 = -3 \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0 ) Решаем: ( D = 24 ), ( x \approx 3.79 ) или ( x \approx -1.79 ).

в) Нули функции: ( x = 4 ) и ( x = -2 ). Промежутки, где ( y > 0 ): ( (-\infty, -2) ) и ( (4, \infty) ). Промежутки, где ( y < 0 ): ( (-2, 4) ).

Таковы основные характеристики и значения функции на основе графика ( y = x^2 - 2x - 8 ).

а) Для построения графика функции y=x^2-2x-8 можно использовать программы для построения графиков, такие как Desmos или GeoGebra. После построения графика можно найти значения функции при заданных значениях х:

• При х=2,5: y = 2,5^2 - 2*2,5 - 8 = 6,25 - 5 - 8 = -6,75
• При х=1,5: y = 1,5^2 - 2*1,5 - 8 = 2,25 - 3 - 8 = -8,75
• При х=3: y = 3^2 - 2*3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5

б) Чтобы найти значения х, при которых у=7 и у=-3, необходимо найти точки пересечения графика функции с горизонтальными линиями y=7 и y=-3. Это можно сделать на графике или решив уравнения:

• При у=7: x^2 - 2x - 8 = 7 x^2 - 2x - 15 = 0 (x-5)(x+3) = 0 x1=5, x2=-3

• При у=-3: x^2 - 2x - 8 = -3 x^2 - 2x - 5 = 0 (x-5)(x+1) = 0 x1=5, x2=-1

в) Нули функции (точки, где функция пересекает ось ординат) можно найти, приравняв y к нулю: x^2 - 2x - 8 = 0 (x-4)(x+2) = 0 x1=4, x2=-2

Теперь для промежутков, в которых у>0, нужно определить, на каких интервалах функция положительна:

• Для х<-2 и х>4 функция y=x^2-2x-8>0
• Для -2<x<4 функция y=x^2-2x-8<0

Таким образом, у>0 при x<-2 и x>4.