Постройте график функции y=x^2-2x. Найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0;3]...

Для построения графика функции y=x^2-2x сначала найдем ее корни, приравняв функцию к нулю: x^2-2x=0 x(x-2)=0 x=0 или x=2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью x: x=0 и x=2.

Далее, чтобы найти экстремумы функции на отрезке [0;3], найдем производную функции и приравняем ее к нулю: y=x^2-2x y'=2x-2 2x-2=0 x=1

Таким образом, точка экстремума функции находится в точке x=1.

Проверим значения функции в точках x=0, x=1 и x=2: y(0)=0^2-20=0 y(1)=1^2-21=-1 y(2)=2^2-2*2=0

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0;3] равно -1 (достигается в точке x=1), а наибольшее значение равно 0 (достигается в точке x=0 и x=2).

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, проанализируем знак производной функции: y'=2x-2

Так как производная равна 0 в точке x=1, то это точка минимума функции. Значит, на промежутке [0;1] функция убывает, а на промежутке [1;3] функция возрастает.

График функции y=x^2-2x - парабола, направленная вверх, вершина которой находится в точке (1, -1). а) Наименьшее значение функции на отрезке [0;3] равно -1 (в точке (1, -1)), наибольшее значение равно 5 (в точке (3, 5)). б) Функция возрастает на промежутке (-бесконечность;1) и (2;+бесконечность), убывает на промежутке (1;2).

Давайте разберем функцию ( y = x^2 - 2x ) и ответим на поставленные вопросы.

Построение графика функции

Для начала представим функцию в более удобной форме. Приведем квадратное уравнение к стандартному виду параболы: [ y = x^2 - 2x ] Можно применить метод выделения полного квадрата: [ y = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 ] Таким образом, функция принимает вид: [ y = (x - 1)^2 - 1 ]

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке ( (1, -1) ), и ветви направлены вверх.

График функции

1. Вершина параболы: ( (1, -1) )
2. Точки пересечения с осью ( y ): при ( x = 0 ), ( y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 ). Точка пересечения - ( (0, 0) ).
3. Точки пересечения с осью ( x ): ( x^2 - 2x = 0 ). Решим уравнение: [ x(x - 2) = 0 ] Отсюда ( x = 0 ) или ( x = 2 ). Точки пересечения - ( (0, 0) ) и ( (2, 0) ).

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0;3]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [0;3], рассмотрим значения функции на концах отрезка и в вершине параболы.

1. На концах отрезка:

   • При ( x = 0 ): [ y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 ]
   • При ( x = 3 ): [ y = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 ]

2. В вершине параболы ( x = 1 ): [ y = (1 - 1)^2 - 1 = -1 ]

Итак, значения функции в точках:

• ( y(0) = 0 )
• ( y(1) = -1 )
• ( y(3) = 3 )

Наименьшее значение функции на отрезке [0;3] равно (-1), а наибольшее значение - (3).

Промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, найдем производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 ]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ 2x - 2 = 0 ] [ x = 1 ]

Проанализируем знак производной на каждом из промежутков:

• Для ( x < 1 ) (например, ( x = 0 )): [ y' = 2 \cdot 0 - 2 = -2 ] (отрицательное значение, функция убывает)
• Для ( x > 1 ) (например, ( x = 2 )): [ y' = 2 \cdot 2 - 2 = 2 ] (положительное значение, функция возрастает)

Таким образом, функция ( y = x^2 - 2x ):

• Убывает на промежутке ( (-\infty, 1) )
• Возрастает на промежутке ( (1, +\infty) )

Для отрезка [0;3]:

• Убывает на промежутке ( [0, 1] )
• Возрастает на промежутке ( [1, 3] )

Выводы

1. Наименьшее значение функции на отрезке [0;3] равно (-1), достигается в точке ( x = 1 ).
2. Наибольшее значение функции на отрезке [0;3] равно (3), достигается в точке ( x = 3 ).
3. Функция убывает на промежутке ( [0, 1] ) и возрастает на промежутке ( [1, 3] ).