Постройте график функции y=x^2-6|x|+2x и определите,при каких значениях с прямая y=c имеет с графиком...

Конечно, давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.

1. Функция и ее особенности: Дана функция ( y = x^2 - 6|x| + 2x ). Поскольку в функции присутствует модуль ( |x| ), нам нужно рассмотреть два случая: ( x \geq 0 ) и ( x < 0 ).

2. Разбиение на случаи:

   • Для ( x \geq 0 ): ( |x| = x ). Тогда функция превращается в: [ y = x^2 - 6x + 2x = x^2 - 4x ]
   • Для ( x < 0 ): ( |x| = -x ). Тогда функция превращается в: [ y = x^2 - 6(-x) + 2x = x^2 + 6x + 2x = x^2 + 8x ]

3. Построение графика:

   Для ( x \geq 0 ): [ y = x^2 - 4x ] Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке ( x = 2 ) (найдем из формулы вершины параболы ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = 1 ), ( b = -4 )). Подставим ( x = 2 ) в уравнение, чтобы найти ( y ): [ y = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 ] Таким образом, вершина параболы ( (2, -4) ).

   Для ( x < 0 ): [ y = x^2 + 8x ] Это также парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы находится в точке ( x = -4 ). Подставим ( x = -4 ) в уравнение, чтобы найти ( y ): [ y = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) = 16 - 32 = -16 ] Таким образом, вершина параболы ( (-4, -16) ).

4. Построение графика прямой ( y = c ): Прямая ( y = c ) — это горизонтальная линия, которая пересекает ось ( y ) в точке ( (0, c) ).

5. Нахождение точек пересечения:

   • Для ( x \geq 0 ): ( x^2 - 4x = c ).
   • Для ( x < 0 ): ( x^2 + 8x = c ).

6. Решение уравнений:

   Рассмотрим уравнение ( x^2 - 4x - c = 0 ) для ( x \geq 0 ): [ x^2 - 4x - c = 0 ] Дискриминант этого уравнения: [ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c) = 16 + 4c = 16 + 4c ] Уравнение имеет два корня, если ( D > 0 ). То есть: [ 16 + 4c > 0 \implies c > -4 ]

   Рассмотрим уравнение ( x^2 + 8x - c = 0 ) для ( x < 0 ): [ x^2 + 8x - c = 0 ] Дискриминант этого уравнения: [ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-c) = 64 + 4c ] Уравнение имеет два корня, если ( D > 0 ). То есть: [ 64 + 4c > 0 \implies c > -16 ]

7. Количество точек пересечения:

   Чтобы прямая ( y = c ) имела ровно 3 точки пересечения с графиком функции, она должна пересекать одну из парабол в двух точках, а другую — в одной точке.

   Рассмотрим:

   • ( x^2 - 4x - c = 0 ) (два корня) и ( x^2 + 8x - c = 0 ) (один корень).

   Для этого дискриминант одного из уравнений должен быть равен нулю, а другого — больше нуля.

   • ( 16 + 4c = 0 \implies c = -4 ) (один корень для первого уравнения).
   • Проверим для ( x^2 + 8x - c ): [ 64 + 4(-4) = 64 - 16 = 48 > 0 ] (два корня для второго уравнения).

   Таким образом, при ( c = -4 ) прямая ( y = c ) пересекает график функции ровно в трех точках.

Итак, прямая ( y = c ) имеет ровно 3 общие точки с графиком функции при ( c = -4 ).

Для построения графика функции y=x^2-6|x|+2x нужно разделить функцию на части в зависимости от значения x. Для x>=0 функция примет вид y=x^2-6x+2x=x^2-4x, а для x

Для начала построим график функции y=x^2-6|x|+2x. Для этого разобьем функцию на части в зависимости от значения x. При x>=0 функция принимает вид y=x^2-6x+2x = x^2-4x, а при x=0 и x=0 у нас будет уравнение x^2-6x+2x=c, то есть x^2-4x=c. Приравняем это к уравнению прямой y=c: x^2-4x=c. Решим это уравнение как квадратное относительно x.

1. Для x