Постройте график функции y=|x|+2. Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [-1;3]

Для построения графика функции ( y = |x| + 2 ), начнем с анализа составляющих этой функции.

Анализ функции

1. Модуль числа ( |x| ):

   • Для ( x \geq 0 ), ( |x| = x ).
   • Для ( x < 0 ), ( |x| = -x ).

2. Функция ( y = |x| + 2 ):

   • При ( x \geq 0 ), ( y = x + 2 ).
   • При ( x < 0 ), ( y = -x + 2 ).

Построение графика

1. Для ( x \geq 0 ):

   • График этой части функции — прямая линия с угловым коэффициентом 1, проходящая через точку (0, 2).
   • Уравнение прямой: ( y = x + 2 ).

2. Для ( x < 0 ):

   • График этой части функции — прямая линия с угловым коэффициентом -1, также проходящая через точку (0, 2).
   • Уравнение прямой: ( y = -x + 2 ).

3. Общая форма графика:

   • График состоит из двух лучей, которые соединяются в вершине V(0, 2). Это симметричная V-образная фигура, где вершина находится на оси y и выше на 2 единицы от начала координат.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке ([-1; 3])

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на указанном отрезке, необходимо рассмотреть значения функции в его границах и в точке соединения, если она попадает в рассматриваемый интервал.

1. На концах отрезка:

   • ( x = -1 ): ( y = |-1| + 2 = 1 + 2 = 3 ).
   • ( x = 3 ): ( y = |3| + 2 = 3 + 2 = 5 ).

2. Внутри отрезка:

   • Вершина V(0, 2) также находится на отрезке ([-1; 3]), и в этой точке ( y = 2 ).

Заключение

• Наименьшее значение функции на отрезке ([-1; 3]) равно 2, и оно достигается в точке ( x = 0 ).
• Наибольшее значение функции на отрезке ([-1; 3]) равно 5, и оно достигается в точке ( x = 3 ).

Таким образом, график функции представляет собой V-образную фигуру, и её значения изменяются от 2 до 5 на заданном отрезке.

Для того чтобы построить график функции y=|x|+2, нужно разбить отрезок [-1;3] на два части: от -1 до 0 и от 0 до 3. Это связано с тем, что уравнение модуля имеет разные значения на положительных и отрицательных числах.

1. Для x от -1 до 0: y=-x+2
2. Для x от 0 до 3: y=x+2

Теперь найдем наибольшие и наименьшие значения функции y=|x|+2 на отрезке [-1;3].

1. Наименьшее значение функции будет при x=-1: y=|-1|+2=1+2=3

2. Наибольшее значение функции будет при x=3: y=|3|+2=3+2=5

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1;3] равно 3, а наибольшее значение равно 5.