Постройте график функции y=x^2+4x+7

Для построения графика функции ( y = x^2 + 4x + 7 ), начнем с анализа её основных характеристик и формы.

1. Тип функции: Это квадратичная функция, которая представляет собой параболу. Стандартная форма квадратичной функции — ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = 1 ), ( b = 4 ), и ( c = 7 ).

2. Направление ветвей: Коэффициент при ( x^2 ) равен 1 и положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Вершина параболы: Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ). Подставим значения: [ x = -\frac{4}{2 \times 1} = -2 ] Подставим ( x = -2 ) в уравнение функции, чтобы найти ( y )-координату вершины: [ y = (-2)^2 + 4 \times (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-2, 3)).

4. Ось симметрии: Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. Уравнение оси симметрии: ( x = -2 ).

5. Y-пересечение: Это значение функции при ( x = 0 ): [ y = 0^2 + 4 \times 0 + 7 = 7 ] Таким образом, график пересекает ось ( y ) в точке ((0, 7)).

6. Построение графика:

   • Определите несколько точек по обе стороны от оси симметрии. Например, возьмем точки ( x = -3, -1, 0, 1 ) и найдём соответствующие значения ( y ).
     • Для ( x = -3 ): [ y = (-3)^2 + 4 \times (-3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4 ]
     • Для ( x = -1 ): [ y = (-1)^2 + 4 \times (-1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4 ]
     • Для ( x = 1 ): [ y = (1)^2 + 4 \times 1 + 7 = 1 + 4 + 7 = 12 ]
   • Полученные точки: ((-3, 4)), ((-2, 3)), ((-1, 4)), ((0, 7)), ((1, 12)).

7. Рисование графика:

   • Начертите координатные оси.
   • Нанесите вершину ((-2, 3)) и ось симметрии ( x = -2 ).
   • Нанесите y-пересечение ((0, 7)).
   • Нанесите остальные точки ((-3, 4)), ((-1, 4)), ((1, 12)).
   • Соедините точки плавной кривой для создания параболы, с учётом симметрии относительно оси ( x = -2 ).

Таким образом, вы получите график функции, который представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке ((-2, 3)).

Для построения графика функции y=x^2+4x+7 необходимо следовать нескольким шагам.

1. Начнем с того, что данная функция представляет собой квадратичную функцию, то есть функцию вида y=ax^2+bx+c, где a, b и c - коэффициенты.

2. Сначала найдем вершину параболы, которая является точкой минимума (так как коэффициент при x^2 положителен). Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид x_v = -b/(2a) и y_v = f(x_v), где f(x) - наша функция.

3. Подставив значения a=1, b=4, c=7 в формулу, получим x_v = -4/(21) = -2. Подставив x=-2 в функцию, получим y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-2, 3).

4. Теперь построим график, используя найденную вершину и понимание того, что парабола смотрит вверх. Мы видим, что парабола открывается вверх, проходя через вершину (-2, 3).

Таким образом, график функции y=x^2+4x+7 будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, проходящую через точку (-2, 3).