Постройте график функции y=(x+4)(x^2+3x+2)/x+1 И определите при каких значениях m прямая y=m имеет с...

Для построения графика функции y=(x+4)(x^2+3x+2)/(x+1) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить выражение в скобках и упростить.
2. Найти точки разрыва функции (если они есть).
3. Построить график, учитывая найденные точки и области допустимых значений.

Чтобы определить при каких значениях m прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо провести анализ уравнения функции и уравнения прямой, и решить систему уравнений соответствующим образом.

Для построения графика функции ( y = \frac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1} ) и определения значений ( m ), при которых прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно одну общую точку, следуйте следующим шагам:

Шаг 1: Упрощение функции

Функция задана как ( y = \frac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1} ). Давайте упростим это выражение: [ (x^2+3x+2) = (x+1)(x+2) ] Таким образом, функция преобразуется в: [ y = \frac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1} ] Если ( x \neq -1 ), то ( x+1 ) сокращается, и функция упрощается до: [ y = (x+4)(x+2) = x^2 + 6x + 8 ]

Шаг 2: Определение области определения

Функция не определена при ( x = -1 ), поскольку знаменатель обращается в ноль.

Шаг 3: Построение графика

График функции ( y = x^2 + 6x + 8 ) - это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при ( x^2 ) положителен). Вершина параболы находится в точке: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3 ] Подставляя ( x = -3 ) в уравнение параболы: [ y = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 ] Вершина параболы: ((-3, -1)). Также учтем вертикальную асимптоту ( x = -1 ) из-за неопределенности функции в этой точке.

Шаг 4: Определение значений ( m )

Чтобы прямая ( y = m ) имела ровно одну общую точку с графиком, она должна быть касательной к параболе. Так как парабола имеет минимум, это произойдет, когда ( m = -1 ), что соответствует значению у в вершине параболы.

Вывод

Прямая ( y = m ) имеет с графиком функции ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда ( m = -1 ). Это значение соответствует минимуму параболы, и в этой точке касательная к параболе горизонтальна.

Для того чтобы построить график функции y=(x+4)(x^2+3x+2)/(x+1), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем нули функции, то есть значения x, при которых y=0. Для этого решим уравнение (x+4)(x^2+3x+2)/(x+1) = 0. Получим x=-4, x=-1, x=-2.

2. Теперь найдем точки разрыва функции. Для этого найдем значения x, при которых знаменатель становится равным нулю. Это происходит при x=-1.

3. Построим график функции, учитывая нули и точку разрыва.

Чтобы определить при каких значениях m прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком функции, нужно проанализировать поведение графика функции и прямой y=m.

Если прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком функции, то это означает, что прямая касается графика функции в этой точке. То есть у них есть общая точка, но касание происходит только в одной точке.

Для каждого значения m нужно найти точку касания прямой с графиком функции и проверить, что у них есть только одна общая точка.

Например, если взять m=0, то прямая y=0 будет пересекать график функции в нескольких точках, а не только в одной. Поэтому нужно провести анализ для разных значений m и найти те, при которых прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком функции.